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ANAr.YSE MATHÉMATIQIJF. — .S^(/' tine nouvelle (jéiiéialisalioii des fonctions 

 abétiennes. Note de M. E. Picard, présentée par M. Hermite. 



« Dans une série de Communications précédentes, j'ai déjà indiijuéune 

 première généralisation des fonctions abéliennes de deux variables indé- 

 pendantes : ce sont les fonctions hyperf'uclisiennes. Celles-ci ne changent 

 |)as quand on effectue sur les variables œ el y un groupe de substitutions 

 de la forme 



R'i '■ + Pi.r + Ri Mj.r + P2J + R, 



^..r, 



M3.P + Pjr -f R;, M;,.f + \\y -+- R3 



Mais la généralisation peut se poursuivre dans une autre direction, et je 

 m'arrêterai sur le cas des fonctions de deux variables indépendantes x et 

 y qui ne changent pas, quand on effectue sur x el y un groupe de substi- 

 tutions de la forme 



, , / ax-+- b a' y + h' \ 



^^' \^^J^ cr + d' c'y-^d')' 



Comme on le voit, x et y se trouvent remplacés respectivement par des 

 fonctions de x et y seulement, mais il ne faut pas oublier que ces substi- 

 tutions doivent se faire simultanément. Dans le cas où les deux substitu- 

 tions 



relatives respectivement à a; et à ^, forment des groupes discontinus, les 

 fonctions de x et j, invariables par les substitutions du groupe (i), se ra- 

 mènent aux fonctions fuchsiennes de M. Poincaré, mais il en est tout autre- 

 ment si les groupes (2), pris séparément, sont continus, leur ensemble, 

 représenté par les substitutions (r), étant toutefois, bien entendu, discon- 

 tinu par rapport à un système de valeurs de x et y. 



» Considérons même, d'une manière plus généra le, des fonctions de deux 

 variables qui ne changent pas quand on effectue sur x eX y un groupe dont 

 les substitutions sont de l'une et l'autre forme 



pour éviter une périphrase, nous désignerons de telles fonctions sous le 

 nom âe Jonctions hyperabé Hennés. 



C. R., 1884, 1" SemesUf. (T. XCVIII, N° 11.) 87 



