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 » Je voudrais indiquer un exemple de fonctions hyperabéliennes, qui a 

 d'ailleurs son origine dans la théorie même des fonctions abéliennes. Con- 

 sidérons une courbe du second genre, et désignons, suivant l'usage, par 



I o G H 

 o I H G' 



le tableau des périodes des intégrales normales. Les trois moditles s'expri- 

 ment, comme on sait, par des fonctions uniformes de G, H et G'; suppo- 

 sons qu'on ait, entre ces quantités, la relation 



H^-GG'= 1), 



D étant un entier positif. Nous pourrons poser 



H=VD^-^' G=^^, G'=^^^. 



Ces trois modules seront alors des fonctions uniformes de j- et j. D'ail- 

 leurs, en écrivant 



H = //o -t- ih, G = g, + /g, G' = -; + ig'. 



» On doit avoir, comme il est bien connu, 



S>o, g'>o et /;^_g-g'<o; 



on en conclut que ces fonctions de j: et j- ne sont définies que pour les 

 valeurs dex et / (on pose x = x'-h ix" e\ j =j'+ iy"), dans lesquelles 

 x" et j" sont tous deux positifs. 



» Cela posé, il existe un groupe de substitutions relatives à H, G et G', 

 laissant invariables les trois modules, et leur étude approfondie a été faite 

 par M. Hermite dans son Mémoire Sur la Iransformalion des fondions abé- 

 liennes. Dans ce groupe, je ne considère que le sous-groupe, qui laisse 

 inaltérée l'expression H" — GG'; à ce sous-groupe correspondra un groupe F 

 relatif aux deux variables indépendantes x et j, et toutes les substitutions 

 du groupe F sous l'une ou l'autre des formes (3). 



» Nous avons donc là un exemple d'un groupe hyperabélien et de fonc- 

 tions hyperabéliennes correspondantes. Les coefficients des substitutions 

 effectuées stu- or et y sont des quantités réelles; dans le cas où D est un 

 carré parfait, les groupes 



/ ax ->r b\ I a' v + h' \ 



