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 sont séparément discontinus, et les fonctions trouvées se ramènent aux 

 fonctions elliptiques modulaires. On est alors dans un de ces cas de réduc- 

 tion d'intégrales hyperelliptiques aux intégrales elliptiques dont j'ai fait 

 autrefois l'étude. 



» Il en est autrement quand D n'est pas un carré parfait : les groupes 

 précédents, pris séparément, sont continus, et c'est seulement en effec- 

 tuant leurs substitutions simultanément sur .r et j qu'on obtient un 

 groupe discontinu relatif à ces deux variables. 



" » Diverses considérations arithmétiques, que je développerai ultérieu- 

 rement, m'ont conduit à une classe étendue de groupes hyperabéliens, et 

 je me propose de faire une étude approfondie des fonctions hyperabé- 

 liennes. Je terminerai en montrant seulement comment la théorie de ces 

 fonctions se rattachera aux équations différentielles partielles. Soit 



r z= ap + bq + 6's, t = a'p ■+- b' q + c' z, 



où les a, i, c sont des fonctions algébriques de x et j, un système de deux 

 équations linéaires simultanées du second ordre aux dérivées partielles, 

 ayant quatre solutions communes, linéairement indépendantes, mais liées 

 par une relation quadratique. On sait que, dans le cas des équations hnéaires 

 du quatrième ordre à une seule variable, ce cas particulier a fait l'objet 

 des intéressantes recherches de M. Goursat i Jjulltlin de la Société nialhéma- 

 lique, i883) et a aussi été examiné par M. Halphen dans ses mémorables 

 études sur la réduction des équations linéaires. 



» Désignons par w,, Wj, w, et U4 quatre solutions distinctes des équa- 

 tions précédentes, liées par la relation oj, 0),=: WjW^. 



n Si l'on pose 



W, M.> 



- = t', - = '•. 



W3 6)3 



et que l'on considère ces équations comme donnant a; etj- (dont sont fonc- 

 tions les u) en fonction de w et t»; si les fonctions x et ^ ainsi obtenues 

 sont uniformes, ce seront des fonctions hyperabéliennes de 11 et c. » 



MÉCANIQUE. — Sur la poussée d'une masse de sable, à surface supérieure hori- 

 zontale, contre une paroi verticale ou inclinée. Note de M. J. BoussmcsQ, 

 présentée par M. de Saint-Venant. 



« I. Lorsqu'une masse sabloiuieuse, d'un certain poids spécifique II, 

 d'un angle 9 de frottement intérieur et d'une hauteur uniforme h au-dessus 



