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 ou, vu l'égalité des deux valeurs de s, que r, .<!, t sont les trois dérivées se- 

 condes d'une aulre fonction tt, en dx"^ ^ dxdj, dj"-. Et la troisième (i) 

 devient, en appelant finalement £ une quantité très petile, l'équation aux 

 dérivées partielles, en ct, 



(j) r — n- 1 = h- ^ = (sensiblement ) -, -=.zs. 



» Or, pour X très petit, si r, j, i ne sont pas nuls, leurs dérivées en jr 

 qui, multipliées par dy et intégrées sur des longueurs finies J djr, y 

 donnent au plus /", s, t, sont très inférieures à leurs dérivées en ce, les- 

 quelles, multipliées par dx et intégrées de x^o à x = ,r, clonnent r, 

 s, t. Donc la dérivée de t en x, qui vaut celle de s en j-, est négligeable 

 devant la dérivée de .ç en x, et t est beaucoup plus jietit que s; de même, 

 la dérivée de s en x, qui égale celle de r en j", est négligeable devant la 

 dérivée i!e r en jc, et s est beaucoup plus petit que r. L'équation (3) de- 

 vient alors, en y mettant ren facteur commun, transposant les termes du 

 dernier membre dans le premier membre, et appelant s, im nombre très 

 voisin de zéro, r(i -h £,) = o, ou /' ^ o. C'est dire que /', s, t sont nuls dans 

 toute la couche supérieure considérée du coin de sable, sauf aux points où 

 r, s, avarieraient en fonction de j- avec une rapidité exceptionnelle, met- 

 tant le raisonnement précédent en défaut sur une longueur /c// compa- 

 rable à X. Or il ne peut y avoir une telle région exceptionnelle qu'au voi- 

 sinage de la paroi; car, au moment où le coin sablonneux est sur le point 

 de se former, l'état physique varie évidemment d'une manière graduelle en 

 foiiclion de j dans la couche supérieure du massif, dès qu'on se trouve à 

 une distance sensible de son bord J= o. Et, près de ce bord où s peut de- 

 venir comparable à r, quand le coin de (erre s'étend jusque-là, le dernier 

 membre de (3) est encore rendu négligeable, en comparaison du terme r, 

 par le facteur e; de sorte que la fonction ro y varie conformément à l'équa- 

 tion (le d'Alembert, r — a't = o.Onyii donc, en appelant /une fonction 

 arbitraire de j — ax et/, une fonction arbitraire de j -+- ax, 



(4) ^=/+/., d'cù r = ay"+J'\), s=-a{f"-/\), t=.J"+f\. 



» Mais les conditions [r, .ç, f ) = o pour x = o et J> o obligent à an- 

 nuler/" et/", poiu- les valeurs positives de leurs variables / qz nx ; ce qui 

 comprend toutes leurs valeurs dans le massif quand l'inclinaison tangi de 

 la paroi sur la verticale est > a. Alors on a, dans loule la couche supérieure 

 du coin (le sable, quelles qu'en soient les limites, {r, s, t) = o. El, lorsque, 



