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 à zf'TO, tangy,, dont la dérivée en çj a le signe de sin^$ — siticp, grandit de 

 zéro à tang$, pour décroître ensuite jusqu'à sinO; d'où l'on déduit aisé- 

 ment que la valeur correspondante la plus forte du dernier membre de (8), 

 ou la valeur la plus petite de ^, se produit pour une valeur de siny com- 

 prise entre sinO et sin^$. 



» Les deux parties du profil de la surface de rupture non contiguë à la 

 paroi, l'une, inférieure, légèrement concave, l'autre, la plus haute, recti- 

 ligne, ont même projection horizontale et par suite, à fort peu près, même 

 longueur; car la partie rectiligne forme avec la droite y = ax et le profil 

 de la surface libre un triangle isoscèie, dont la hauteur, verticale, coupe la 

 base, projection totale de cette surface de rupture, en deux parties égales. 

 Si l'on assimile à un arc de cercle la partie inférieure, d'une courbure assez 

 petite et partout comparable, l'angle fait par sa corde avec la verticale sera 

 la moyenne de la valeur (7) de «au départ, ou pour 9' = $, et de sa valeur, 

 45° — \(f, à l'arrivée. L'angle analogue pour la corde du profil total de la 

 surface de rupture sera, par suite, la moyenne de cette moyenne et de 

 t\h° — i(p. On aura donc 



(II) a moyen) =. -= — - -\- -^{a — v^ -\- arccos-^ 



^ ' ^ •' ' 4 2 \ ' sin* 



)» Il ne faut pas confondre absolument cette surface de rupture, limite 

 inférieure du coin total tendant à se détacher, avec celle d'entre les surfaces 

 de rupture (ses homothétiques par rapport à l'origine) ébauchées comme 

 elle dans le coin à toutes les hauteurs, sur laquelle on observe à la surface 

 libre les glissements les plus marqués, et qui doit partir d'un peu moins bas 

 quand la rupture est due à une simple rotation de la paroi autour de sa base, 

 que lorsqu'elle est due à une translation, créant sur le fond un vide sen- 

 sible. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'équation r = (j-"'t. 

 Note de M. R. Liouville. 



« L'équation aux dérivées partielles du second ordre 

 (i) r=zq-"'t 



s'intègre, si la constante m quelle contient est donnée par la formule suivante : 



où l'on désigne par i un nombre entier quelconque, positif d'ailleurs ou négatif. 



