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 )) Cette proposition est une conséquence simple ^!es résiillntsétablis dans 

 uneNote précédente (Co»i/'ï(îs?'e)ic/ws, séance du 3 mars 1884) ; voici coin ment 

 on peut en présenter la démonstration, à l'aide des formules et des nota- 

 tions de ce travail. Il faut imaginer tout d'abord que, faisant usage de la 

 transformation indiquée par Legendre, on ait changé l'équation (i) en une 

 autre linéaire 



(2) t-f-"'r=<^; 

 puis, désignant ainsi 



( 3 ) /, - r '" /•/ + \'.P, + Q,7,- + Z,z,. = o, 



la transformée déduite de l'équation (2) par un nombre quelconque de 

 substitutions successives, telles que l'une des suivantes : 



( 4 ) ^-a;'-! = 72;' ± y"'Pii'^ Zo/^a = '-^T^ ' 



où par $2i' O'i entend l'une des fonctions de j satisfaisant à l'équalion de 

 rang ii' -\- i, on conclut sans peine des formules mentionnées plus haut 



[ P„:=± (,«+,)/'«-', Q,= _^-i, Z„==0, 



<^ih ^li so"t des constantes qui restent à calculer. 

 » A cet effet, ou a besoin de l'équation différentielle 



(6) C,- + Q2,v. ^.,i + Z^,-^, 0,,- = o, 



dont deux solutions linéairement indépendantes s'expriment de celte ma- 

 nière 



(7) ^.i---f\ $»,=jr-«=.-.. 



De là, pour léquation proposée, deux classes de transformations distinctes, 

 selon celle de ces deux déterminations qu'on choisit pour la fonction 0, et, 

 pour les constantes «j,, ij,, grâce à l'ambiguïté des formules (4), quatre 

 systèmes de valeurs correspondantes, dont deux peuvent être omis; je 

 transcris ici les deux autres : 



(8) 

 (9) 



(5) 



