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 j'ajoute que, si la condition 



rto, -f- b^i -V- m = o 



est remplie, dans la suite des équations transformées, celle qui occupe le 

 rang 2/ admet une intégrale intermédiaire; elle s'intègre alors cotn|)lète- 

 ment, ainsi que toutes les équations précédentes, parmi lesquelles la pro- 

 posée se trouve comprise. Je suppose maintenant qu'on exécute 2/ transfor- 

 mations, en employant les formules(8), d'où résulte une équation semblable 

 à (3); puis, qu'à celle-ci l'on fasse subir, comme il est perisus, 4/'-f- 2 

 transformations, issues des formules (9), par où l'on est conduit à l'équa- 

 tion 



(>o) • t ~- r^"'/--fr?,,, „,,,/«-• /; + ^^'^7=0, 



a laquelle il faut joindre ces relations évidentes : 



I I 



) «2:+.w'+2 = (? -f- i)('" + i)— (2/' -h i){m-h 1), 



<> Il suit de là qu'en prenant i = 2/' on réduit l'équation transformée 



(12) t-y^'"r- --j^q = o 



à ne plus renfermer p; elle se prête alors à des substitutions d'une autre 

 espèce, car on y peut choisir q pour l'inconnue qu'il s'agit d'obtenir, et la 

 changer ainsi en une équation nouvelle 



/ „,2m„ 2n, + i{m-hi) i(m ~hi]{ 2 m -h 1] 



t- y , ^- q _| __ 2=0, 



où la constante m est engagée d'une manière toute différente ; mais, comme 

 étant au reste précisément de même forme que (3), celle-ci peut être 

 transformée à l'aide d'un procédé pareil et par les mêmes formules. Le sys- 

 tème marqué (8) s'applique avec succès, et l'intégration en résulte, s'il 

 est satisfait à la condition 



(2/'— i -h 2){m -\- i) -\- m = o; 

 d'où l'on conclut 



(li) m = T, : T- 



C'est la proposition que nous avions énoncée. 



