l 727 ) 



I) On a île même : 



') Théorème I (Propriété de dix points d'une surface du second ordre). 

 — Si l'on considère deux surfaces quelconques du second ordre S et S', conju- 

 guées nu lélraèdre ayant pour sommets (juatre de ces points, les deux plans po- 

 laires de chacun des six autres points, ])ar rapport à S et S', se coupent respecti- 

 vement suivant six droites, qui appartiennent à un même complexe du premier 

 ordre. 



» Plus généralement, on peut faire corres|)ont]re homographiquement 

 à un point décrivant une conique un point décrivant une droite. Nous 

 avons déduit de ce fait une démonstration du théorème de Pascal; puis, 

 en suivant une marche semblable, nous avons obtenu des théorèmes ana- 

 logues à ce dernier pour les surfaces du second ordre. 



1) Nous avons d'abord cherché un mode analytique de correspondance 

 entre un point M et une droite w de l'espace, tel que, le point M se dé- 

 plaçant sur une surface du second ordre S, la droite u se déplace sur un 

 complexe du premier ordre a. On connaît un mode de correspondance, 

 d'après lequel à tout point M de l'espace correspond homographiquement 

 une droite a située sur un complexe particulier du second ordre ffa, com- 

 plexe des droites rencontrées par les faces d'un tétraèdre suivant un rap- 

 port anharmonique constant. Quel que soit le complexe a, la surface S passe 

 par quatre points fixes A, B, C, D; par suite, pour que les dix points A, B, 

 C, D, 5,6, 7, 8, 9, M appartiennent à une même surface du second ordre S, 

 il faut que les six droites «5, Wg, co,, Ug, Wg, a appartiennent à un même 

 complexe du premier ordre (7. Cette condition est d'ailleurs suffisante; en 

 effet, les six droites précédentes doivent être situées sur la congruence du se- 

 cond ordre (co, c); mais, commeelles sont par construction sur c.,, il suffit 

 de leur imposer d'appartenir à a. 



» D'autre part, quand le point M décrit une droite L, la droite w en- 

 gendre en général un hyperboloïde. En particulier, quand L passe par l'un 

 des points A, B, C, D, u reste dans un plan P et passe par un point n. Dés 

 lors, pour que le mode de correspondance considéré fournisse une déter- 

 mination du dixième point M de la surface S, donnée par neuf points, il 

 suffit de trouver de ce mode de correspondance, jusqu'ici analytique, une 

 définition géométrique permettant d'obtenir w, connaissant M, et inverse- 

 ment de revenir de w à M. Nous avons ainsi obtenu plusieurs formes de la 

 propriété de dix points d'une surface du second ordre; nous indiquerons 

 seulement la suivante, qui se prête le mieux aux applications. 



» Théorème II (Propriété de dix points d'une surface du second ordre). 



