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 — Sij menant arhitrairemeitt par le sommet!) du tétraèdre!) ABC, qui a pour 

 sommets ijiialre de ces points, un plan fixe H et deux droites fixes 1 et p., on fait 

 correspondre à tout point i\I de l'espnce la droite &), intersection des deux plans 

 menés respectivement par les droites (H — BdM), (H — ACM) et par les points 

 (X — ABM), {p. — ABM), les six droites correspondant aux derniers points 

 de la surface appartiennent à un même complexe du premier orrlre. 



» Ce dernier théorème est la généralisation de la propriété connue sui- 

 vante de six points d'une conique : Si, menant arbitrairement par le sommet C 

 du triangle ABC, cpd a pour sommets trois de ces points, deux droites fixes a et i3, 

 on fait correspondre à tout point M du plan la dioite w, qui joint les points 

 (a — AM), (P — BM), les trois droites correspondant cmx dernières points de la 

 conique sont concourantes. D'ailleurs, si l'on prend pour droites a et 8 des 

 droites passant par deux des trois derniers points de la conique, on ob- 

 tient le théorème de Pascal. L'énoncé de ce théorème doit sn simplicité à 

 ce que les six points de la conique y interviennent d'un manière symé- 

 trique; on ne peut pas obtenir une pareille symétrie pour la propriété de 

 dix points d'une surface du second ordre -, cela tient à une différence entre 

 les propriétés des nombres 6 et lo. Quoi qu'il en soit, nous croyons pouvoir 

 donner le théorème II comme une généralisation du théorème de Pascal. 

 EHectivement, au point de vue théorique, les conclusions: trois points en 

 ligne droite, six droites sur un complexe du premier ordre, sont compa- 

 rables; au point de vue pratique, nous allons montrer que le théorème II 

 a, pour les surfaces du second ordre, les mêmes conséquences que celui de 

 Pascal pour les coniques. 



I) Problème. — Trouver les traces d\me droite L sur une surface du second 

 ordres donnée par neuf points A, B, C, D, 5, 6, 7, 8, 9. 



» Si la droite L passe par l'un des points donnés B, on est ramené à 

 trouver sur un complexe du premier ordre a donné par cinq droites 

 (lOj, w„, W7, Wg, Mg) la droite co, qui se trouve dans un plan P et |)asse par 

 un point n. D'ailleurs les cinq droites w-, ..., œ,j s'obtiennent une fois pour 

 toutes; chacune d'elles est l'intersection de deux plans connus. Pour 

 le plan P, il est déterminé par la droite (H — C, L) et par le point 

 (X— A, L). Enfin le point ;: est celui où le plan P est rencontré par la droite 

 qui joint le point fixe (H — AC) au point (p. — A, L). 



» Si la droite L est quelconque, à cette droite correspond un hyperbo- 

 loïde considéré comme formé d'un seul système de génératrices, et l'on 

 est ramené à construire les deux droites communes à cet hyperboloïde et 

 au complexe a. 



