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ANALYSE ALGÉBRIQUE. — Sur la correspondance entre deux espèces différentes 

 de fondions de deux systèmes de quanlilés, corrélatifs et écjalemenl nombreux. 

 Note de M. Sylvester. 



« Voici le théorème à démontrer, dans lequel, par somme-puissance, on 

 hous-entend une somme de puissances de quantités données : 



» J i quantités on peut en associer i autres telles, cpie chaque fonction symé- 

 trique [qui est une Jonction des différences) des premières sera une Jonction des 

 sommes-puissances du 2*, du 3^, . . . , du i'"""' ordre des dernières. 



» Faisons, pour plus de clarté, i = 3. 



» Soient r, , r.,, /'s les racines de l'équation 



fr — «/•' -f- br" -\- cr-\- d=o. 



En prenant b, c, d; r,, /'o, /"j comme deux systèmes corrélatifs de variables 

 indépendants, on trouve 



Donc 





Soient « = a, é = 3|3, c = 3. 2. "y, <<?= 3. 2.1 . §, et soient p,, pa, ^^ les 

 racines de l'équation 



ap' H- j3p^ + 7|3 + $ = o. 



Alors, si \S,.9 == o, on aura (ac?p-f- |3(?Y + 7^0)9 = o. c. q. f. d. 

 » L'intégrale générale de la première équation est 



et celle de la dernière est 



? = ^«'(P'i + P2 + P3» P? + P2 + Ps)- 



Ces deux intégrales sont donc identiques, et, le raisonnement étant général 

 pour une valeur quelconque de /, on voit que chaque fonction des diffé- 

 rences des r doit pouvoir s'exprimer comme une fonction de / — i sommes- 



