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 puissances consécutives des p (commençant avec la seconde), les / et les p 

 élanl liés ensemble par les équations 



ai' + br'~^ -t- c/'"* -+- dr'-^ + . . . = o, 



rtû'4- -7/3'"'+ rp ,p' ^+ rr- rn \ P + 



— o, 



et conséquemmenl une fonction symélrique des différences des /■ sera une 

 fonction rationnelle et entière des / — i puissances consécutives (dont on 

 a déjà fuit mention) des p. 



» En prenant / ^ oo , on voit que le théorème équivaut à dire que tous les 

 sous-invariants, sources des covariants de («, b,c\x^yY, {a,b,c,d\x,yY, ... 

 (à l'infini), seront des fonctions des sommes-puissances prises à l'infini, 

 avec la seule exception de la somme linéaire des racines de l'équation 



a + bx -h — x^ -\ 5 a;' + . . . (à l'infini). 



1.2 1.2.3 ^ ' 



» Tel est le théorème capital découvert par M. le capitaine Mac-Mahon, 

 de l'Artillerie royale anglaise, dont il a fait le plus heureux u.sage en déve- 

 loppant la théorie des perpétuants (voir American Journal of Malhemalics). 

 Il est évident que le même principe peut être appliqué aux invariants de 

 toute espèce, de sorte que, grâce à la belle découverte de M, Mac-Mahon, 

 avec la généralisation (qui en sort presque intuitivement) que j'ai donnée, 

 on est aujourd'hui en état de traiter les parties les plus difficiles et les plus 

 essentielles de la théorie des fora. es algébriques, comme M. Schubert l'a 

 fait avec sa Zalil-Geomeirie pour les figures dans l'espace, en faisant abs- 

 traction , pour ainsi dire, de toute question de substance (de matière 

 contenue dans les formes), et en se bornant à un calcul purement arith- 

 métique. 



» Je dois avertir que le théorème de correspondance, tel que M. Mac- 

 Mahon l'a donné, a paru dans V American Journal of Malhemalics[\'o]. VI, 

 ]). i3i). M. Mac-Mahon affirme (mais sans aucune preuve) que, si (a, /3, 

 y, . . . étant des nombres entiers plus grands chacun que l'unité) y est de 

 la forme Ir'^s'^t'^, . . ., où r, s, t, . . . sont les racines de l'équation 



[a„a„ ^, y-^, •••)(^, i)"= o, 

 alors 



et il donne à y le nom dt' Jonction symétrique non unitaiic des racines. Ce 



