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 vante, qui définit F,„ quand on connaît Fn, F,. . . ., F,,,,., : 



,,, dF.„ (9F,„ iW,, \^àF„ ,,, ,,, 



(4) -^ +Tr^' + w""^' +2-#^ '^^^— ' 



où p varie sous le signe 2 depuis 2 jusqu'à m — i. 



» Il semble, au premier abord, que l'intégration de cette équation iiilio- 

 duira des termes séculaires dans l'expression de F,„. Il n'en est rien. Les 

 termes séculaires sont tous nuls. 



» Il en résulte qu'il existe toujours une série de la forme (2) qui salis- 



fait formeilemeiil k l'équation -— = o; mais, comme celte série n'est pas 



convergente, en général, on poiu'rait croire que l'on ne peut tirer aucune 

 conclusion de l'existence de celte série. 



» Ce serait une erreur, et, pour le faire comprendre, je vais ajouter au 

 second membre de l'équation (i) un terme 



de façon que cette équation devienne 



d-.r „ ,„ , „((h-\1 



— = XO, + X-Ç)o 4- . . . -I- Jc"'(f,„ H- . . . -i-'}^x'' ( -- 



(L étant une fonction périodique de t de période -ir^. Clicrchons ensuite à 



former une série 



F==F2 + F3 + ...+ F,„ + ... 



qui satisfasse formellement à l'équation — = o. On verrait, dans l'un des 



termes F,„ de celte série, la variable t sortir des signes trigonométriques. 

 On en conclurait l'existence d'ime fonctiony(a:, ^", t) jouissant des pro- 

 priétés suivantes : 



» 1° C'est un polynôme entier en x et f, dont les coefficients sont des 

 fonctions périodiques de t de période arr. 



» 2" Quand / est très petit, a: et j sont très petits et réciproquement, 

 quand ^ et j" sont très petits, / est très petit. 



7 f 



» 3° Quand/est inférieur à une certaine limitey^, sa dérivée totale ^ 

 est toujours de même signe, par exemple positive. 



» Il en résidle que, si la valeur initiale de y est inférieure 'àj^yj ira en 

 croissant jusqu'à ce qu'd ait atteint et dépassé la valeuryu, et, après avoir 

 franchi cette limite, il ne pourra jamais redevenir inférieuràyQ. En d'aulres 



