{ 9o4 ) 

 cas où la théorie nouvelle, plus complète, de l'équilibre-limite se heur- 

 terait à des flifticultés d'intégration insurmontables. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les forints ijuadraliqucs cjuaternaires et sur les 

 groupes hyperabéliem correspondants. Note de M. E. Picard, présentée 

 par M. Hermite. 



« J'ai indiqué récemment [Comptes rendus, l'j mars i884) "» exemple de 

 fonctions hyperabéliennes; je rappelle que je désigne ainsi les fonctions de 

 deux variables indépendantes ce et y, qui se reprodinsent quand on effectue 

 sur X e[ y un groupe de substitutions qui sont toutes de l'une ou l'autre 



forme 



/ tir -f- b a' y + //^ 



\^' .> • ~^7^:d' c'y -h d' 

 OU 



» Je voudrais montrer, dans cetle Note, comment certaines considéra- 

 tions arithmétiques peuvent conduire à wnç^ classe étendue de groupes 

 hyperabélicns. 



» Considérons une forme quadratique quatej'naire indéfinie à coeffi- 

 cients entiers y(x,j', z, ^); elle sera réductible à l'un ou l'autre des types 



(1) ±[u\+u\r\-u\ — uW 



(2) u\ + u\ — u\ — ir, 



où les u sont des fondions linéaires réellts des quatre indéterminées. 

 L'étude arithmétique de la forme/ sera tout à fait différente suivant que 

 cette forme appartiendra au type (i) ou au type (2). Ij'élude, plus simple 

 d'ailleurs, du type (2) présente moins d'intérêt au point de vue de la théorie 

 des fonctions; nous allons nous occuper uniquement, dans ce qui suit, du 

 second type, afin de montrer comment on peut, dans ce cas, faire corres- 

 pondre à la forme un groupe hyperabélien. 



» Conformément à la méthode générale de M. Hermile [Journal de Cre lie, 

 t. 47), nous devons associer à la forme /" une forme définie convenable, 

 I enfermant un certain nombre de paramètres arbitraires. Le point essentiel 

 est de réduire les paramètres au moindre noir.bre j ossible et de les j^rendre 

 de la manière la plus convenable pour pouvoir efléciuer la réduction cor,- 

 tinuelle. Voici le résultat auquel je suis parvenu : la forme définie y, que 



