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 nous devons associer à _f ^ peut s'écrire 



9 = (v3 — ■'7o)(b — lo)(«3 + u\ — U\ — «') 



+ 2norme[(y7 — ^)u, ~ (i -^hriYu^ (| + n)u^ + (i — ?v))m,]. 



^ et vj sont deux paramètres complexes arbitraires, dans lesquels les coeffi- 

 cients de y'— I sont tous deux positifs; ^o et vjo désignent les quantités 

 conjuguées de | et vj. On a ensuite à effectuer la réduction continuelle de 

 cette forme pour toutes les valeurs indiquées des paramètres ^ et yj. On 

 emploiera pour les formes quaternaires définies les conditions de réduction 

 données par M. Charve [Annales de l'Ecole Normale, 1882), et qui résultent 

 de l'extension aux formes quaternaires de la remarquable méthode em- 

 ployée par M. Selling pour les formes ternaires. 



» Considère-t-on maintenant une substitution à coefficients entiers et de 

 déterminant i, transformant en elle-même la forme J ; si l'on effectue 

 cette substitution dans la forme çp, elle se changera, à un facteur positif 

 près, en une forme toute semblable, où ^ et auront été seulement rem- 

 placés par ^' et vj', et l'on aura 



(S) 



soit 



soit §' — - -^tH ' '*!' — 



v| -i- 71 



les coefficients de ces différentes subslitutions étant réels; de plus, ce 

 groupe est discontinit pour des valeurs complexes des paramètres S, et ■^. 

 Nous obtenons donc ainsi un groupe hjperabélien relatif à ces deux va- 

 riables. Ce groupe est nécessairement isomorphe au groupe des substitu- 

 tions qui transforment en elle-même la forme quaternaire y^(^,_^, :;, i). 

 L'opération de la réduction continuelle de la forme ç permet de trouver 

 les substitutions fondariienlales de l'un et l'autre de ces groupes. 



» Si l'on ne se propose que d'indiquer l'exislence d'un groupe hyper- 

 abélien, correspondant à une forme quadratique quaternaire du type (2), 

 sans vouloir en faire l'étude approfondie, on peut, sans recourir aux 

 considérations précédentes, raisonner de la manière suivante. Soit toujours 



/(x, y, s, t) = u\ + u\ - 11% ~ u;, 



et supposons les quatre indéterminées x, j? , s et t liées par l'équation 



G. R., 188/1, i" SemesCre. (T. \CV1U, N" !•'(.) I > ^^ 



