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 discontinues, où il soumet à une analyse approfondie les principes de h 

 théorie des fonctions, et établir, entre autres, une proposition remarquable, 

 qui permet de définir de la manière la plus nette la condition d'intégrabi- 

 lité d'une fonction. 



Plusieurs autres Mémoires sont consacrés aux développements en série. 

 M. Darboux y donne une démonstration nouvelle de la convergence des 

 développements suivant les fonctions de Laplace, ou les polynômes de Le- 

 gendre. Il a établi un peu plus tard d'autres développements plus généraux 

 suivant les polynômes de Jacobi, en se fondant sur l'expression asympto- 

 tique qu'il avait trouvée pour ces polynômes. 



Les équations différentielles où les variables se trouvent mêlées, et qui 

 ne se ramènent pas à la forme homogène on linéaire, ont été jusqu'à ce 

 jour peu étudiées. Une équation remarquable, intégrée par Jacobi, était 

 restée jusque-là isolée. M. Darboux a montré qu'elle constitue le premier 

 terme d'une classe étendue d'équations différentielles, dont on pourra 

 écrire l'intégrale générale toutes les fois qu'on aura réussi à obtenir des 

 intégrales particulières algébriques en nombre suffisant. Cette importante 

 proposition permet de construire une foule d'équations différentielles dont 

 l'intégrale générale s'obtienne, pour ainsi dire, à la simple vue. 



M. Darboux a fait cette remarque simple, mais importante, qu'une équa- 

 tion différentielle n'admet d'intégrale singulière que dans des cas exception- 

 nels, et que la méthode indiquée avant lui pour déterminer l'intégrale sin- 

 gulière en partant de l'équation différentielle fournit en général le lieu des 

 points singuliers des courbes intégrales, et non leur enveloppe. 



Il a encore montré que, si un système d équations linéaires admet une 

 intégrale algébrique, il admettra également comme intégrale tous ses co- 

 variants. 



L'Académie avait proposé, il y a quelques années, comme sujet du grand 

 prix de Mathématiques, l'étude des solutions singulières des équations aux 

 dérivées partielles du premier ordre. Le Mémoire transmis par M. Darboux 

 en réponse à cette qsiestion et couronné par l'Académie est une œuvre 

 considérable. Il contient, entre autres résultats, la fixation précise des ca- 

 ractères des solutions singulières; la détermination des règles qui permet- 

 tent de les déduire directement de l'équation différentielle; l'étude des 

 relations de contact qui existent entre cette solution et les autres intégrales 

 complètes ou générales; enfin l'extension aux équations aux dérivées par- 

 tielles de la méthode d'intégration par différentiation. 



Dans un travail antérieur, sur les équations aux dérivées partielles du 



