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droites «5, ..., « doivent être situées surla surface réglée du quatrième ordre 

 (c'a, a, ff'); mais, comme elles sont par construction sur CTo, il suffit de leur 

 imposer d'appartenir à (c, g'). De là résulte un théorème, que nous énon- 

 cerons plus loin. 



» De même, si les huit points A, B, C, D, 5, 6, 7, 8 sont associés, toutes 

 les surfaces du second ordre qui passent par les sept premiers passent par 

 le huitième; par suite, tous les complexes du premier ordre qui contien- 

 nent les droite» toj, w,., to, contiennent aussi la droite oj^, ce qui exige que 

 les quatre droites 105, ..., tog soient quatre génératrices d'un même système 

 d'un hyperboloïde. On démontrerait d'ailleurs, comme plus haut, que 

 cette dernière condition est suffisante. 



» Enfin, si la courbe gauche du quatrième ordre (S, S') se dédouble en 

 une cubique gauche et une droite, la surface réglée du quatrième ordre 

 ((Tj, a, g') se dédouble en deux hyperboloïdes, l'un inscrit, l'autre circon- 

 scrit au tétraèdre d. On voit d'ailleurs facilement lequel de ces deux hy- 

 perboloïdes correspond à la cubique. On obtient ainsi les trois théorèmes 

 suivants : 



» Théorèmes I, II et III (Propriétés : 1° de neuf points d'une courbe 

 gauche du quatrième ordre; 2° de huit points associés; 3° de sept points 

 d'une cubique gauche). — Si, menant arbitrairement par le sommet D du 

 tétraèdre DABC, qui a pour sommets quatre de ces points j im plan fixe H et deux 

 droites fixes 1 et [x, on a fait correspondre à tout point M de l'espace la droite w, 

 intersection des deux plans menés respectivement par les droites (II-BCM), 

 (H- ACM) etpar les points (1-ABM), (y.-ABM) : 



» 1° Les cinq droites correspondantes aux derniers points de la courbe gauche 

 appartiennent à une même congruence du premier ordre ; 



» 2.° Les quatre droites correspondantes aux derniers points associés appar- 

 tiennent à un même système de génératrices d\in hyperboldide; 



» 3° Les liois plans menés par chacun des points fixes [ïi-BC), (H-AC)e< 

 par tes trois droites correspondantes aux derniers points de la cubique se cou- 

 pent suivant une même droite. 



» Les quatre faces du tétraèdre sont les plans ABC et H, et les deux 

 plans menés respectivement par les droites X et /jt. et par les droites 

 (H-^CD), (H-BCD). 



» On simplifie beaucoup les applications des théorèmes précédents en 

 choisissant le plan H et les droites 1 et |x, jusqu'ici arbitraires, de manière 

 que les droites 0J5, w„ qui correspondent à deux des points donnés soient 

 concourantes. Il suffit, par exemple, de prendre pour droites 1 et /j. les 



