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 m, m, m", n, n', n", p, p', p" sont des nombres entiers, positifs ou négatifs, 

 dont la somme est nulle, et h un paramètre arbitraire. Cette équation 

 admet, comme on voit, les trois points singuliers o, i, oo , et les racines des 

 diverses équations déterminantes fondamentales sont : 



Pour 07 = o. 



m 



■il 

 11 



•» X ~ i n, 7i -Jr -, n 



I 



» a:=-7 = so 



x' 



On peut toujours, par une transformation facile, supposer nuls m et n et 

 m', m", n', n" positifs ou nuls : c'est ce que je ferai désormais. Si, dans 

 l'équation (i), on fait le changement de variable jc =f{t), f[t) étant la 

 fonction doublement périodique de t définie par l'équation différentielle 



(2) * -.=^gx^x-iy 



(voirBRioT et Bouquet, Théorie des fonctions doublement périodiques, p. 392), 

 on reconnaît aisément que l'intégrale devient une fonction uniforme de t, 

 et, par suite, d'après le beau théorème de M. Picard, elle s'exprimera, en 

 général, au moyen de fonctions doublement périodiques de seconde espèce. 



» On peut employer, pour effectuer l'intégration, une méthode ana- 

 logue à celle que M. Hermite a employée pour l'équation de Lamé dans 

 une Lettre à M. Brioschi [Annali di Matemalica, t. IX, oP série). En effet, 

 le produit de trois intégrales convenablement choisies de l'équalion (1) 

 et, en général, distinctes, est une fonction uniforme dans toute l'étendue 

 du plan et, par suite, un polynôme. 



» Cette propriété résulte d'une étude du groupe de l'équation (i) que 

 je ne puis qu'indiquer ici. En cherchant les intégrales qui se reproduisent, 

 à un facteur constant près m, quand on fait décrire à la variable un lacet 

 dans le sens direct autour du point a; = i, suivi d'un lacet dans le sens 

 inverse autour du point .a: = o, on est conduit à une certaine équation du 

 troisième degré 'p(w) = o, dans laquelle le produit des racines est égal à 

 l'unité. Faisant d'abord abstraction du cas où cette équation a^hnettrait la 

 racine triple = 1, j'appelle w, une racine simple de l'équation ?(w) = o. 

 11 y correspond une certaine intégrale Y, qui se reproduit multipliée par 

 w, quand la variable décrit le chemin précédent. De cetle intégrale on 

 peut en déduire d'autres de la manière suivante; si l'on décrit plusieurs 

 lacets successifs dans le sens direct autour du point a? := o en prenant au 



