( i25o ) 



point de départ l'intégrale Y,, on engendre trois intégrales Y,, Y2, Y3 qui 

 se permutent circulairement dans cet ordre ou dans l'ordre inverse quand 

 on tourne autour du point j? = o. De même, en tournant autour du point 

 X = 1, on obtient un nouveau système Y,, Y'2, Y'g. Si aucun des systèmes 

 (Y,, Y,, Y3), (Y', , Y'2, Y'a) n'est fondamental, l'équation (i) admettra pour 

 intégrale la racine cubique d'un polynôme. Écartant ce cas particulier, 

 supposons que le système (Y,, Y2, Y3) soit fondamental; alors le groupe 

 de l'équation dérivera de deux substitutions de la forme suivante : 



^' ' \ S'(Y,, Y„,Y3:o),Yo, aY^-^bY,+ cY„ a'Y,-{- b'Y,-ï- c'Y,). 



Dans le domaine de chacun des points i, co , il existe un groupe de trois 

 intégrales qui se reproduisent respectivement multipliées par les facteurs 

 ï, a, a- (a et a- désignant les racines cubiques imaginaires de l'unité), 

 quand la variable tourne autour d'un de ces points. Cette conditiTin en- 

 traîne entre les coefficients a, b, c, a', b\ c' certaines relations que l'on 

 obtient en écrivant que deux équations du troisième degré se réduisent à 

 6'' — I = o; ces relations sont les suivantes : 



[ b -}- c' = o, aw, = bd — bc' ] 

 (4) 7 7 7,' <^i{a'c— ac') = i. 



^ ' \ a -"r b'= o, c'w,=ab—ba] 



» On obtient une solution de ces équations en prenant 



a = b=b'=c' = o, co,rt'c = i. 



Celte solution est la seule qui convienne, car, si l'on suppose b elb' diffé- 

 rents de zéro, les formules (4) montrent que les substitutions S' et S^', ap- 

 pliquées successivement à l'intégrale b'y — bz, la changent en a,[by~~bz), 

 et co, devrait être racine double de l'équation ç>(co) = o, contrairement 

 à l'hypothèse. Le cas où ç>(w) se réduirait à (w — i)' se discute de la 

 même manière, et en résumé, si l'équation (i) n'admet pas pour intégrale 

 la racine cubique d'un polynôme, les substitutions fondamentales du 

 groupe de l'équation sont les suivantes : 



S'(Y|, Y2, Yj : w, ^2» W2Y3, w., Y,), 



W|, W2j ^^3 désignant les trois racines de l'équation ç>(oj) = o, qui vérifient 

 la relation co, 0)2(0^ = 1. Le produit Y1Y2Y3 est donc une fonction uni- 



