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de M. Sylvester donne 



e''= e'L -+- è*' — \e''\ 



L étant une période, on devrait avoir e' = o, e'(r — >,) = i, ce qui est 

 impossible. 



» On trouve donc que, dans le système des quaternions coplanaires 

 avec M, la fonction exponentielle possède les deux périodes primitives 



w = 2TCy/— j, M'=2nsl- 



Pi— H 



dont la première est scalaire, la seconde non scalaire. 



Si l'on remplace M par une matrice quelconque aM + |3 du système co- 

 planaire, ja, et [j..^ se trouvent remplacés par ay., + 13 et aj^-j H- /3 et la 

 valeur w' ne change point, comme cela doit être. Choisissons donc pour M 

 celui des quaternions coplanaires qui se réduit à un vecteur de longueur i . 

 Nous aurons 



HT •/ • • I zi/ — I, .t'-t-ri/ — I 



e\. a- + j- -^ z- — i. Donc 



!■'•) + [-'•2 = o, [A,;x, = 1, [^, = ^'"^1, p..,= _y'_;, 



de sorte que 



w = 27rv' — i> a)'=7r(/'+v — i). 



« Hamilton donne dans ses Eléments of Quaternions la période 2ni' 

 (art. 241, 242), qui évidemment n'est pas primitive; car on a 



2ni' ^= 2iw' — u), 



tandis qu'il est impossible d'exprimer w' par 2n\/— i et 2 Tri'. D'ailleurs il 

 serait facile de déduire les deux périodes o> et o/ de la formule {Eléments 

 qf Quaternions, art. 241) 



g'/_ f^-^i^cosj- + i'slnj), 



» Passons maintenant à la fonction inverse. Le logarithme de M étant 



q étant mis sous la forme ce -+- i' y. 



» Passons mainte 

 défini par l'équation 



e'°'"=M, 

 on a de suite 



logM = -2i-i ^^ M + ' ' ^' - — ' - "" ' + Ai) -H k'ui', 



fi — F2 Pi — Pi 



