( i358 ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Commentaire arillimétique sur une formule 

 de Gauss; par M. de Jonqcièkes. 



« I. Gauss consacre le § 357 des Disquisitiones à la démonstration d'un 

 théorème remarquable qui, un peu généralisé depuis quant à la forme de 

 l'énoncé, peut s'exprimer ainsi : 



» p étant un nombre premier > 3 e< X désignant la fonction ^—5 on n 



4X := y^ — pZ- si p est de la forme ^i -+- i , 

 et 



f\X = Y" -+- pZ- si p est de la forme [\i + 3. 



» Y et Z sont des polynômes rationnels à coefficients entiers, au sujet 

 desquels Gauss, dans le § 349 de l'Ouvrage précité, et, après lui, J^egendre, 

 dans sa Théorie des nombres, ont fait connaître quelques propriétés dont on 

 trouve une démonstration, plus développée et aussi élégante que précise, 

 dans VAUjèbre supérieure de M. Serret (t. II, pages 545 et suiv.). En outre, 

 Gauss et Legeudre, supposant j 1= i, écrivent les valeurs algébriques des 

 polynômes Y et Z, qui se rapportent aux moindres valeurs de /?, savoir 

 ^ = 5, 7, 1 1, i3, 17, 19, 23 et 29. Ces expressions et toutes celles qu'on for- 

 merait au delà de p = 29 conviennent encore au cas général dej' égal à un 

 entier quelconque, moyennant une précaution très simple à prendre dans 

 le calcul numérique. 



» IL Examinant d'abord séparément le cas où p est de la forme [\i -\- 3, 

 où, par suite, on a 4X = Y--l-/;Z-, je conclus sans difficulté des propriétés 

 que possèdent, dans Y et Z, les coefficients également distants des extrêmes, 

 et de ce que, pour cette forme de l'exposant p, ces polynômes se composent 

 chacun d'un nombre pair de termes, que les valeurs numériques de Y et Z 

 sont paires pour toute valeur de x, et que, par suite, on a 



X = Y^ + /3Z^, en même temps que [\1L=^Y^ -\- pZ^, 



'■' , Y Z 



Y, et Z, étant respectivement égaux à -et -• 



» Cette première remarque me semble n'être pas sans intérêt, puisque, 

 sous le rapport arilhmélique, elle double en quelque sorte l'énoncé de 

 Gauss, dans la totalité des cas, si ^ := 4 ' + 3, et (connue on le verra plus 

 loin, YII) dans la moitié de la totalité des cas si p = 4' -+- i- 



