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» III. Toutefois l'observation que j'ai principalement en vue est autre, 

 et consisfe en ce que la solution fournie par les formules algébriques dans 

 chaque cas, et qui est unique (sauf pour /?= 3, où elles en indiquent trois), 

 n'est pas toujours, à beaucoup près, la seule solution existante au point de 

 vue numérique. 



» En faisant connaître la solution générale, l'Algèbre remplit sa fonction ; 

 mais l'Arithmétique, à son tour, fait connaître d'autres solutions, qui se 

 présentent concurremment avec celle-là, tantôt simples, tantôt multiples, 

 toutes les fois que la valeur numérique de X, correspondant aux valeurs 

 données de x et y, n'est pas un nombre premier. Ce cas étant d'ailleurs le 

 plus fréquent, il s'ensuit que ces solutions, supplémentaires à la solution 

 algébrique normale, ne sont pas de celles qu'on pourrait appeler exception- 

 nelles ou singulières; ce sont, au contraire, les plus nombreuses dès que X 

 est un nombre composé un peu grand. 



» IV. Pour me borner ici à un seul exemple de chacune des espèces les 

 plus simples, la formule de Gauss et les procédés de calcul de Gauss ou de 

 Legendre fournissent immédiatement les décompositions normales de 4X, 

 et, d'après II, celles qui s'en dérivent pourX, pour chacun des nombres 

 ci-après : 



(i) 4X = 4(4'-30=- 86'+ 7.84', ~" 



(2) 4X = 4(Ç^)-264V 7-7^'> 



(3) 4X=:4(5'-4') = Ï42'+7.r8o'\ 



(4) 4X = 4(|^')=226V7.72T, 



(5) 4X=4(2"-i) = ës'+ii.Ts', 



» (i) et (2) ne donnent lieu à aucune autre solution arithmétique, parce 



---— — j sont premiers l'un et l'autre. 

 » (3), (4) donnent lieu chacun à une deuxième solution, savoir : 



(3') 4(5'-4') = 3^' + 7-Ï4«\ d'où X = (5'- 4') ="Î53V 7.74'; 

 (40 4(1^)= «2 +7.144 , d'où X=(^--|-)= 41 +7-72 • 



