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 » Enfin (5) tlonne lieu à mie deuxième solution pour 4^, savoir : 



(5') 4(2''-i)=73Vii.^'; 



mais celle-ci n'a pas de conjuguée pour X. Ce qui fait que, dans les 

 exemples (3) et (4), il existe une deuxième solution pour 4X et pour X, 

 c'est que les deux facteurs preiiÉiers en lesquels X se décompose dans chaque 

 cas sont inanédiateinent décomposables en la forme (i, o,p), et ce qui fait 

 que, dans (5), 4^^ seul est décom|)osable, c'est que les deux facteurs pre- 

 miers de X ne peuvent être représentés parla forme (i, o, 1 1) qu'après avoir 

 été multipliés j)ar 4 (')• L'une ou l'autre de ces deux circonstances se jiré- 

 senle d'ailleurs, dans tous les cas, pour tous les facteurs de X, puisque 

 cette condition n'est, au fond, d'après la théorie des formes quadratiques, 

 qu'une seconde manière d'énoncer arithméliquement le théorème de Gauss, 

 appliqué à la valeur numérique de X. Quant à X lui-même, pour qu'il 

 bénéficie de l'accroissement qui survient, par celte cause, dans le nombre 

 des représentations de l^H, il faut, et d'ailleurs il suffit, que tous les fac- 

 teurs premiers de X soie it décomposables en la forme (i, o,p), sans qu'il 

 soit nécessaire de multiplier aucun d'eux par 4 pour le rendre tel. Ainsi, 

 dans l'exemple (3), oùXet 4Xont une deuxième représentation conjuguée, 

 on a 



5' — 4'= 29.2129 = (i + 7.2-)(4i'+ 7.8-), 



tandis que, dans l'exemple (5), 0Ù4X. seul possède une deuxième repré- 



2'*-i = 23.89, 



sentation, on a 



facteurs qui doivent être préalablement multipliés |)ar 4 pour pouvoir être 

 représentés dans la forme (1,0,11), savoir : 



4.23 = (9-+ II. 1^) et 4.89=(9=-Mi.5=). 



' '» V. Ces solutions supplémentaires qui, pour des nombres allant en 

 croissant, deviendraient rapidement de plus en plus nombreuses (leur 



(*) Lorsque les facteurs preiniers de X ne sont pas décomiiosables en la forme (1,0, p), 

 ils sont au moins toujours diviseurs linéaires de celte forme et, par suite, déconiposables en 

 l'une des formes équivalentes ou associées à celle-là. Ici, par exemple, aS et 89 sont de la 

 forme (i, 1,3), éijuiv.ileute à (i, o, i i) ; ainsi l'on a 89=: 2-+ 2.5 + 3.5^. 



