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 nombre étunt, en général, égal à 2" ' — i, si «est celui des facteurs premiers 

 deX), et que l'Algèbre ne peut donner avec ses formules générales, parce 

 qu'elles dépendent des valeurs inclividiiellos de X, m'ont paru intéressantes 

 à signaler, ainsi que leur origine et leur mode de génération, car il semble 

 que quelque chose de nouveau se trouve ainsi, du moins sous le point de 

 vue arithmétique, ajouté à une théorie justement célèbre. 



» Pour plus de détails sur le nombre de ces représentations diverses, 

 qui dépend, comme je viens de le rappeler, de celui des facteurs premiers 

 deX, et sur la manière de les calculer, on pourra consulter, dans le tome VI 

 des Comptes rendus annuels de l'Association pour l'avancement des Sciences, le 

 résumé d'un Mémoire que j'ai publié, en 1878, dans les Nouvelles Annales 

 de Mathématiques, et dont une brève analyse fut alors insérée dans les 

 Comptes rendus de l'Académie. 



» VI. Si l'Algèbre, dans le cas de p = 3, donne, au lieu d'une seule, 

 les trois solutions générales : 



(i) 4X = Y--+-3Z^ = (2^+ !)-t-3-i% 



(2) 4X = Y^+3Z==(a'H- ï.)- ^h3^--, 



(3) 4X = Y=' + 3Z^=(.T-i)= +3(a; + i)' - ■ „.. . 



(Serret, Alcjèbie supérieure, t. II, p. 553), .. 



et semble ainsi faire une exception à la loi qui régit tous les autres cas, 

 cela tient à ce que le facteur 4 du polynôme 4X, qu'il s'agit de représenter 

 parla forme (i, o, 3), est lui-même de cette forme (4 ~ 1" -H 3.1"), et qu'à 

 ce titre il apporte un élément normal et permanent de multiplicité 

 dans la solution du problème. En effet, selon la loi précitée (V) de forma- 

 tion des décompositions quadratiques, en une forme donnée (i, o, p), 

 d'un nombre composé de deux facteurs ayant cette même forme, il y a 

 toujours, en pareil cas, deux telles décompositions, dans chacune des- 

 quelles les composants Y et Z sont premiers entre eux, c'est-à-dire deux 

 décompositions propres, comme Gauss les appelle. Or il est aisé de voir que, 

 sur les trois représentations ci-dessus, il y en a effectivement toujours deux 

 qui satisfont à cette condition, savoir : la première (i) et l'une des deux 

 autres, (2) si x est impair, et (3) si a; est pair, tandis que, dans la troisième, 

 les composants ont le facteur 2 commun. Celle-ci, qui est tantôt (3) et 

 tantôt (2), fournit donc toujours une représentation conjuguée de X en la 

 forme (i, o,3), et une seule, et les deux autres, qui n'en fournissent pas, 

 sont dues précisément à la combinaison de celte représentation de X avec 



