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OÙ ne figurent plus que les s et les C; en égalant à zéro les coefficienls 

 des diverses puissances de x, on aura les relations cherchées 



^2+2C2 = o, j3 + 3C;) = o, j^ + Co^i + 4C,, = o, .... 



On obtient ces relations résokies, soit par rapport aux .ç, soit par rapport 

 aux C, en résolvant l'équation (8), soit par rapport à '\i{x), soit par rapport 

 à(p{.x). 



» Tout cela se relie à l'analyse de M. Sylvester, en remarquant que les 

 équations (5), où l'on regarde les C comme des constantes, sont les inté- 

 grales des équations 



qui correspondent à l'équation aux dérivées partielles (3). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Forme générale du reste dans l'expression 

 d'une fonction au moyen d'autres fonctions. Noie de M. Cii. Lagrange. 



Il Je me suis proposé le problème suivant : 



M Fx, (p,Jc, Wo3c, . . , (^,^x étant des fondions de x, trouver des coefficients 

 constants ûo, a,, ..., a„ et un reste R, fonction de x, cjui rendent exacte la 

 relation 



(i) Fjc = ag-hn, (p,x4-fl2 y2X + ...-T-fl„ 9„x + R 



de X = a rt .r = a + H, après avoir, d'ailleurs, fixé les conditions que doivent 

 remplir les fonctions proposées pour qu'une telle relation soit possible. 



» Solution. — I. Suieut «po-^, Çw+i-îf deux nouvelles fonctions de oc; 

 posons 



(2) j, = Fj:-, 



(j5) J^-cta ÇgX + a^ (f,x+ ..+ a„ (f„x + a,^^^ (f„+^x, 



rto. (lit ■ ■■, fini ^ii+\ étant des paramétres arbitraires, et déterminons ces 

 n -h 2 paramèu-es par les «4-2 conditions suivantes : 

 » 1° Que, pour X =^ a, on ait 



» 2° Que, pour x =^ a -\- h [IiS H), on ait de nouveau 



