degré 



( î423 ) 

 rt„+, seront donnés par le système d'équations du premier 



Fa =fo 9o« + '^t ipirt + • • . -I- «„ o„n 



(A) \F"a = flo 90'^ + «I 9"'^ -l-'^« ?«'^ + '^«+i Ç^+i*^. 



F{a + //) ^^ rto <Po(« + A) + <7, ç), (rt + //) -H . . . ) , > 

 -H fl„ <p„(rt + //)■+ ^«+1 ?«+! (rt 4- A) I ^''■''' 



et seront, en dernière analyse, des fonctions de a et de 7i. Dans ces équa- 

 tions, les ?2 premières dérivées des fonctions Fa;, (p^JC, . . . , (p,^_^,xsont sup- 

 posées finies et déterminées pour x = a, et ces fonctions elles-mêmes 

 finies et déterminées pour x ^= a et x = a -\- h; elles devront être telles 

 que les valeurs de «„> «i» • • • > ^n+i données par (A) soient finies et déter- 

 minées. La résolution du système (A) sous la forme ordinaire donne, pour 

 le coefficient général a^,_, 



(^') "^ ~ 1 v!!« v> T> • • • v^:!" 9;- ?r> <f> cr""« I 



(fx = o, I, 2, ..., ?i+ i), Oo= I, 

 les indices supérieurs, entre lesquels se font les permutations dans les dé- 

 terminants, désignant des dérivées et o{a-i-Q(,h), où 0^= i, indiquant 

 qu'il faut prendre la dérivée d'ordre zéro ou la fonction elle-même et y 

 faire x ^= a -\- ^h = a -\- h (cette notation est introduite pour établir la 

 symétrie avec les notations ultérieures). 



)) II. Transportons, maintenant, dans l'expression (3) de y^ les valeurs 

 finies et déterminées (4) et considérons la nouvelle fonction 



(5) ^x=^r,-ri- 



Les équations (A) pourront s'écrire 



(A') i]>a = o, fa = o, fa = o, ..., i};"rt = o, ,^{a-hh) = o. 

 Supposons, maintenant, que les fonctions Fx, (po^, <p,x, ..., !p,„+, a? soient 

 finies et continues, ainsi que leurs v premières dérivées, de x -= p. k 

 X = a + h i^S/i-^- i).'i\ en sera de même de 



(5) ^•^• 



Dès lors, on aura, en vertu d'un lemme connu (' ) et des conditions (A'), 



(•) Bf.rtram), Calcul dijlfticnticl, §273. 



