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 applications par Legendre, Laplace, etc., et il s'agit d'avoir une limite des 

 valeurs de k assurant la convergence absolue de la série double. 



» Un rapprochement s'offre de lui-même avec les expressions de l'ano- 

 malie vraie et du rayon vecteur suivant les sinus et cosinus des multiples de 

 l'anomalie moyenne; elles sont convergentes quand l'excentricité e est in- 

 férieure à l'unité; mais, pour assurer la convergence absolue des séries 

 doubles ordonnées suivant les puissances de e et les sinus et cosinus des 

 multiples de l'anomalie moyenne, Laplace a cherché la limite des valeurs 

 de e(o,66) c{ui fout converger les séries des modules maxima des 

 termes ('). 



» Pour les valeurs du paramètre, e ou k, inférieures aux valeurs limites, 

 on a alors des séries doubles dans lesquelles on peut changer l'ordre des 

 termes et qui se prêtent aux opérations de l'analyse. 



» Une première manière d'assurer la convergence absolue des séries 

 doubles V(., V, (celle des séries dérivées est assurée en même temps) serait de 



raisonner sur les expressions de Y^, V, dans lesquelles on remplacerait r et - > 



figurant en facteurs ou sous le signe d'intégration, par deux séries à termes 

 positifs comprenant tous les termes des développements en séries de r 



et -• Dans l'exemple, on raisonnerait sur la série (2) dans laquelle l'inté- 

 grale (3) serait remplacée par l'intégrale analogue où k est changé en — k, 

 et l'on serait conduit à poser la condition 



^'^'^/- <r, d'où ^■<o,4i4; 



de sorte que la réduction du champ de variation du paramètre serait ici 

 relativement plus sensible que dans le cas du développement des coor- 

 données elliptiques. Mais il convient d'avoir égard à la remarque suivante : 

 si les deux intégrales telles que 



(5) Cuii'. «)]""^ ^« ^h'-^ f 'l/O^- --)\~"-'^n d... 



où n est supposé très grand, ^'expriment plus simplement en fonction d'un 

 nouveau paramètre lié à a, il pourra être avantageux de changer de para- 



(') Peut-être serait-il utile de montrer que la valeur limite de e résultant de la 

 théorie de la série de Lagrange assure la convergence des séries modulaires. 



