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 l'épaisseur infiniment petite varie, en chaque point, suivant la loi ci-dessus ex- 

 pliquée. 



» L'élégant théorème de Gauss se trouve démontré dans un Mémoire 

 très récent de M. G.-W. Ilill('). Ce géomètre distingué a, de plus, com- 

 plété la solution du problème en continuant les calculs de Gauss jusqu'au 

 point où peut se faire l'application numérique, et a calculé effectivement 

 les variations séculaires de l'oi-bitc de Mercure, dues à l'action de Vénus. 

 En i855, Bour s'est occupé aussi du problème de Gauss, mais sans y rien 

 ajouter d'essentiel, sauf l'interprétation géométrique des quantités qui fi- 

 gurent dans la solution. 



» Cette solution même, que Gauss recommande à l'attention, n'offre, à 

 vrai dire, de réellement remarquable que la dernière partie, celle où, pour 

 la première fois, il est question de la moyenne arithmético- géométrique. 

 Quant aux calculs employés par Gauss pour réduire à la forme canonique 

 les intégrales elliptiques dont la solution dépend, ils ont perdu tout intérêt 

 depuis qu'on y a reconnu les calculs élémentaires qui servent à rapporter 

 un cône du second degré à ses axes de symétrie. 



» D'après les progrès les plus récents accomplis dans la théorie des fonc- 

 tions elliptiques, on sait que la réduction à la forme canonique n'est pas 

 nécessaire pour le calcul des périodes (^). Il y avait donc lieu de reprendre 

 le problème de Gauss pour en donner une solution explicite n'exigeant 

 pas la résolution préalable d'une équation du troisième degré. C'est ce que 

 j'ai fait. Je me contenterai ici d'exposer la solution, sans qu'il soit besoin 

 d'en fournir la preuve. On y remarquera que je laisse arbitraires les axes 

 de coordonnées ; je ne les suppose même pas rectangulaires. Cette circon- 

 stance importe aux applications, comme on peut le voir dans le Mémoire 

 de M. Hill. 



M La masse d'un arc infiniment petit, sur l'orbite attirante, e?,l proportion- 

 nelle a l'aire du secteur ayant cet arc pour base et le fover pour sommet. 

 Dans les formules ci-après, la masse est prise égale à cette aire. 



H Désignant par x, y, z trois indéterminées, je compose, avec ces indé- 

 terminées, une forme quadratique $, qui a quelque analogie avec le po- 

 tentiel : soient a^o, j,,, s^ les coordonnées du foyer (le Soleil) et a, p, y celles 



du point attiré; après avoir pris les dérivées partielles y-;) y-, -^, si l'on y 



(') Simon Newcomb, Aslronomical Papers, vol. I, 1882. 

 (^) Ce progrès a été accompli par M. Biiiiis en iSjS. 



