( 4o9 ) 



1 1/ 1/ nn 'iiii'i 



djc, 



mettant ( ;t-. ) y = fr, on anra 



du j (/'+' Il , , , 



» Égalons à zéro les dérivées de u" des degrés n-hi, n + i, ..., 



(« + i)(«4-3) ., , , n^+/i ... . , ,, 



; il en résultera — - — équations entre lesquelles on peut 



éliminer le même nombre de coefficients, c'est-à-dire tous les coefficients 

 en U, sauf ceux qui ne contiennent nulle puissance de y, lesquels ne pa- 

 raîtraient pas dans les équations dont nous parlons. 



» Pour obtenir le déterminant qui correspond à ce système d'équations, 

 remarquons que le théorème de Taylor donne immédiatement (^) 



-— J w = co,. U -+- un + u — 

 n /■ -^ 'V 1.2 



t. 2. 3 

 -H-l „ _ , -11-2 



= cOr( U + u'h ->r n. U -\- a' h \ -\- n'. ^ u 4- u'h V- 



où l'on peut prendre 



,. /'' /'' II'- 



"^1.2 -•'i.a.3 •^1.2.3.4 



ce qui suffit à résoudre le problème. 



» Pour cela, on considère toutes les dérivées de U comme fonctions li- 

 néaires des termes qui paraissent dans le développement de (u, u', \)"~' (^). 



)) Alors, en représentant par m,[j. le coefficient de A™ dans 



(S^--,^'" -■■■)'• 



on trouvera, sans calcul algébrique aucun, que la ^''^'°« ligne du détermi- 

 nant cherché peut être prise sous la forme 



(i+7).i (2+7). 1 (2-f--7).2 (3+7). I (3+7). 2 (3+7). 3 ... («+7).! {n-hq).2 ... {n+q).n. 



(') On remarquera qu'avec cette notation toute fonction entière de u et dj;!/ repré- 

 sentera sans ambiguïté une quantité algébrique ordinaire, pourvu que l'on sache 

 «yj/'iori' qu'elle doit être linéaire dans les coefficients de (/". C'est pourquoi dans le 

 texte on est libre d'exprimer toute dérivée différentielle de U comme fonction de u 

 et II'. 



C) Par co,. on sous-entend les mois « le coefficient de /*'' dans » 

 (') Ou plutôt les termes avec leurs coefficients numériques de(«, «', i)", en omet- 

 tant les (/i + i) termes du degré n. 



