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)) Le cas général peut paraître, au premier abord, beaucoup plus com- 

 pliqué. Je me propose de montrer ici comment le cas d'une intégrale algé- 

 brique irrationnelle rentre toujours et nécessairement dans le cas de la ra- 

 tionnalité : i° même lorsque l'intégrale des forces vives n'a pas lieu; 

 2° même si l'intégrale est algébrique par rapport à quelques-unes des com- 

 posantes des A-itesses seulement, ou par rapport à quelques-unes des coor- 

 données, et cela sous une condition extrêmement simple et générale imposée 

 à l'équation aux dérivées partielles de Jacobi. 



)) Si l'intégrale des forces vives existe et qu'on la représente par 



/(^r,, y,, ...,fy„;/7, ,/;,,. ..,/>„), 

 on sait que l'équation 



(A) (/,'l',)-o 



exprime la condition nécessaire et suffisante pour qne 



^((j,,q,,...,(j„;p,,p„...,p„) 

 soit une intégrale. 



» Si, au contraire, l'intégrale des forces vives n'existe pas, il existe du 

 moins une fonctiony"(i, qf,qj, ...,q„; p^, p.,, ...,/?„) qui contient le temps, 

 et telle que l'équation 



(B) ^ + (/,$) = o 

 exprime la condition nécessaire et suffisante pour que 



qui contient généralement le temps, soit une intégrale. Je laisse de côté 

 tous les problèmes de Mécanique auxquels la méthode de Jacobi ne serait 

 pas applicable. 



» Je conviens de représenter généralement par 0('I>) = o la condition 

 pour que <î> soit une intégrale; 0('I)) = o sera (A) dans un cas, et (B) dans 

 l'autre. On peut ainsi les comprendre tous les deux dans un même raison- 

 nement. 



)) Cela ])osé, y'e suppose que la fonction f, de l'un ou l'autre cas, dépende 

 rationnellement de l'une des quantités q^, q.,, . . ., q^; p,, po, . ■ ., /?„, quan- 

 tité que je représenterai par oj; j'énonce alors le théorème suivant : 



» S'il existe une intégrale * algébrique et irrationnelle par rapport à to, on 



