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 pourra toujours exprimer * à l'aide d'un nombre limité d'intégrales non seu- 

 lement algébriques, mais encore rationnelles par rapport à w. 

 » Soit, en effet, 



(i) U = F,„<î)'" + F„_, <!>'"-' -f- . . . + F, $ + Fo = G 



l'équation algébrique qui définit <I>, et où les F, sont des polynômes entiers 

 en M, dont les coefficients dépendent d'une façon quelconque des autres 

 quantités q et p. On peut toujours supposer U irréductible, c'est-à-dire non 

 divisible par un polynôme entier en 0, dont les coefficients soient ration- 

 nels en o). 



» Puisque l'on a identiquement U = o, on a aussi 



6(U) = o 

 ou, en développant, 



o = ^e(<D) + 0(F,„)4>'" + 0(F„,_, ).î)"'-' +. . . -h 0(F, ).I. + e(F„) = o. 



Cela permet de mettre l'équation 0(<I>) = o sous la forme 



(2) 0(F,„)<I'"' + e(F„,_, )*'-'+... 4- 0(F,)<I.-t-e(F„) = o. 



Les coefficients de (2) sont rationnels en w, et, pour toute valeur de w, 

 les équations (i) et (2) ont une racine commune; l'irréductibilité de U 

 exige alors que toutes les racines de (i) appartiennent à (2) ou, à cause 

 de l'égalité des degrés, c|ue les coefficients de (i) et (a) soient proportion- 

 nels ; on trouve ainsi 



/o^ 0(F„.) _ t)(F»,-i) _ _ (KFil _ HZll 



^^■^ F,„ - F„,_, 1^ - F„ • 



Comme on a identiquement 



'"\ _ <'0(") — ('O(i') 



on déduit des équations (3) que les rapports 



Fo _ F, _ F,„_, 



"F,» 



(Xq — T? ' ^1 — TT ' • • • » '^m-{ 



vérifient l'équation 



0(a) = o 



