(477 ) 

 l'expression L et le premier membre de (2) sont des invariants. Il est facile 

 de trouver les propriétés auxquelles ils se rattachent. 



» L = o signifie que, par une substitution telle que celle-ci : 



on peut parvenir à une équation semblable à (i), mais ne contenant pas 

 le cube de l'inconnue; par la relation (2), on exprime qu'en posant 



(4) j = Y'9(^), 



après avoir déterminé la fonction ç comme il convient, il v a pour l'équa- 

 tion du second ordre en Y une intégrale générale, oîi les constantes arbi- 

 traires figurent linéairement. 



1) De ce curieux caractère résulte l'intégration et voici par quel pro- 

 cédé : 



» Si l'invariant L diffère de zéro, je puis calculer la fonction cp par la for- 

 mule 



(5) L^o = const. 

 » Cela fait, l'équation différentielle en Y 



(6) Y" + A,Y'^-t-3A,Y'-+3A3Y'-+-A4 = o 

 a ses coefficients liés par les deux relations 



(7) A', + 3(A^ — A,A3) = 3c, L + c, = 0, 



c et C| étant des constantes. Soient m^, m.,, m^ les racines de l'équation 

 numérique 



(8) m^ — 3cm -h c, = o 



et, pour chaque valeur de m, soit définie par cette quadrature 



(.,) log^ = j [-^ ^^ J dx 



une fonction 'i(.r). L'intégrale générale de l'équation (6) s'exprime ainsi 



(10) K,'!^,{x)e"''' -hK,^,(x)e'"''' + K,'!^(.v)e'""' = o, 



avec trois arbitraires R, dont les rapports seuls interviennent; d'après (4), 

 l'inconnue y s'en déduit immédiatement. 



