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 M Soit/(,r, j) = o l'équation de la courbe que transforme en elle-même 

 la substitution birationnelle 



(i) x'=R(t,x,y), y=R,(t,x,j), 



où nous mettons en évidence le paramètre t. Nous pouvons, sans diminuer 

 la généralité, supposer que, pour une valeur particulière t^t^, la substi- 

 tution précédente se réduit à >r'= x,y' —y. 



» Ceci posé, supposons que la courbe/ soit de genre/», et soient 



/ 



*^'^"'^-^" {i=x,^,...,p) 



l'y 



les p intégrales de première espèce. L'élément -^^^ ^jj — , quand on 



remplace x' cly' par leur valeur (i) en x eiy, prendra la forme 



' = /' 



^^'' 7; ' 



1 = 1 



les constantes A pourraient être des fonctions du paramètre t, mais nous 

 allons précisément montrer qu'elles n'en dépendent pas. On le verrait de 

 suite par la considération des périodes, en faisant parcourir^ cycles dis- 

 tincts au point (x,y), et en intégrant; ce qui nous donnera p équations 

 déterminant les A en fonction des périodes. On peut suivre une autre voie, 

 qu'il sera plus facile d'étendre tout à l'heure. 

 » Reprenons la substitution 



x'=R{x,y), y'=R,(x,y); 



les coefficients figurant dans les fonctions rationnelles R et R, sont, avons- 

 nous supposé, des fonctions d'un paramètre; mais, d'autre part, ces coeffi- 

 cients seront nécessairement des fonctions algébriques d'un ou de plusieurs 

 d'entre eux restant arbitraires; désignons ceux-ci par la lettre 0. Ecrivons 

 l'équation précédemment trouvée 



» Laissons maintenant {x,y) fixe, ainsi que (a^o, j^); le second membre 

 va être une fonction algébrique des 6 ; si cette fonction ne se réduit pas à 

 une constante, elle deviendra infinie pour certaines valeurs des 0, ce qui 



