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 est impossible, puisque le premier membre est une intégrale de première 

 espèce; on en conclut de suite que les A sont des constantes, c'est-à-dire 

 qu'elles ne dépendent pas du paramètre t. En faisant t = t^, on voit que 



A, = i, Ao = A;i = . . . = A^ = G. 



On aura donc 



q,{x',y')dx' _ q,ix,y)d.T _ 



/; ~ Jy ' 



dans l'hypothèse oîi l'on aurait p^ \, on aura pareillement 



Q^i{x',y')dx' _ Q^{x,y)dx 



Jy f'r 



d'où l'on conclut 



Q.(-r',.r') ^ Qi(.r..v) . 

 q,{x\y) Q,(.<',r)' 



or une telle égalité est impossible, car elle établit entre {x,y) et (.r',y) 

 une relation où ne figure pas de paramètre arbitraire. 



» La démonstration du théorème énoncé sur les surfaces va se faire 

 d'une manière analogue; elle sera facile, après ce que nous venons de dire 

 pour les courbes. La surface étant supposée de genre yo, considérons les 

 p intégrales doubles de première espèce, attachées à la surface 



ff- 



(i= 1,2, . ..,/?), 



en désignant pary"(.r,y, :;) ^ o l'équation de la surface, qui sera de degré 

 m, et les Q étant les polynômes adjoints d'ordre m — ^. Soient les équa- 

 tions de la transformation birationnelle 



(2) x' = 'R(l,t',x,Y,z), y=R,(t,t',x,y,z.), z' ='R.,(t,t:,œ,y,z), 



en mettant en évidence les deux paramètres t et t', et, quand nous disons 

 que la transformation est à rleux paramètres, nous entendons qu'à un point 

 {iv,y, z) de la surface correspond, par la transformation, et en faisant va- 

 rier les paramètres, non pas une courbe, mais un point arbitraire de la 

 surface. De plus, on peut toujours supposer que, pour un système particu- 

 lier t=^ tf,, t' = ;'„, on ait x' = x, y' =y, s' = z. 



T"i- .qi{x',y',z')dx'dY' 1 • , / , / 1 



)> L élément -^-^ ■^ , ^> quand on remplace x, y, z par leur 



valeur (2) en x, r, :;, prend la forme 



i = p 



^ ' /;■ '' ' 



