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premiers ordres un système d'équations linéaires, dont la solution générale 

 contient trois constantes arbitraires et, annulée, rejarésente l'intégrale de 

 l'équation (i). Avec les notations d'Ampère, ce système est le suivant : 



,„, , ( da-^ da, \ 



(3) '^ s + a.,p — a^q + '( yr ~ 757 + '^1^1 ~ '^i'^3 ) — o- 



r + a,p - a.,q + -[-jr. - -^+ ■^a^.a, - 2«- = o. 



» Son étude, équivalente à celle de l'équation proposée, dépend uni- 

 quement, d'après une Note précédente (Comptes rendus , 7 décembre i885), 

 d'une équation différentielle ordinaire, du troisième ordre et linéaire. 

 Mais, dans les coefficients de celle-ci, figure en général un paramètre 

 qu'on doit y laisser indéterminé; on conçoit sans peine les complications 

 qu'entraîne avec elle cette circonstance, d'ailleurs liée à la nature même 

 de la question. Aussi convient-il de distinguer les cas où une semblable 

 difficulté peut être évitée. Cela est possible, notamment si la deuxième 

 équation du système (3), 



(4) S + a,p - a,q + zi^-^, - -^ + a,a.,- a.a,^ = o, 



s'intègre par la méthode de Laplace ou bien si l'on sait avec cette équation 

 et l'une des deux autres former une combinaison linéaire que la méthode 

 indiquée permette d'intégrer. 



» Comme chaque substitution effectuée dans l'équation (4) transforme 

 le système dont elle fait partie eu un autre de même espèce, il est clair 

 que tous les cas mentionnés se ramènent en définitive à celui où l'équation 

 (4) est susceptible d'une décomposition immédiate; il exige une des con- 

 ditions suivantes 



, „ ^ da^ 2 da, 



(b) -^'--^ + a,a,:=o, 



et, lorsqu'on admet par exemple la dernière, l'équation (4) peut être rem- 

 placée par celle-ci 



(7) q-\-a.z = Xé"^^''\ 



où Y ne dépend pas de x. Grâce aux deux équations non encore utilisées 



