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du système (3), il s'en déduit en général une expression explicite de z, 

 contenant Y avec ses dérivées des deux premiers ordres, puis pour Y une 

 équation différentielle, du troisième ordre et linéaire. Celle-ci définissant 

 une fonction de j seulement, ses coefficients ne peuvent renfermer x et, 

 puisque l'intégration du système (3) est rattachée à cette équation, le ré- 

 sidtat désiré se trouve obtenu. 



» Au reste, alors même qu'aucune hypothèse n'est faite sur les équa- 

 tions du système (3), il existe une combinaison linéaire des deux dernières 

 pour laquelle les transformations de Laplace fourniraient une décomposi- 

 tion immédiate. Sa recherche dépend d'une équation différentielle, linéaire 

 et du troisième ordre, dont les coefficients, il est vrai, renferment un pa- 

 ramètre, mais dont une solution connue réduit, comme précédemment, tout 

 le problème à l'intégration complète d'une équation différentielle linéaire, 

 dont les coefficients ne contiennent aucune arbitraire. 



Si les identités (2) sont vérifiées, à l'équation (i) on en peut associer 



une seconde 



y" + A,/' + 3A,y= + 3 A3/ + A, = o, 



qui s'intègre en même temps qu'elle; ses coefficients sont donnes par les 

 relations suivantes 



(8) 



A, = -«,, A2 = -a,+ 3— ^, 



2 dlogai . I /d<7;j ida, 



ôx * (i\\0 y à.r 





où les lettres a et A peuvent être échangées l'une pour l'autre. 



« L'expression générale des fonctions a,, ...,a,,, cjui satisfont aux 

 identités (2), s'obtient si l'on suppose a.. = o, ou bien l'équation (6); ces 

 deux cas se correspondent par des équations semblables à (8). Le pre- 

 mier donne lieu à des formules telles que celles-ci 



3A.-^^(S=o. 



(9) A,+ a+3^(^j = 0, A,,= o. 



ox oy ay 



'^i T~ + X^ + 3a.^ -i- y." — 3Ha + H, = o, 



dans lesquelles ayant mis pour a une fonction entièrement arbitraire des 

 deux variables, on assujettit H et H, à la seule condition de ne pas ren- 



