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subslitution birationnelle renfermant deux paramètres arbitraires sont du 

 ^enre zéro ou un; l'examen du cas où il y aurait seulement un paramètre 

 dans la substitution conduit à des conclusions bien différentes. On voit 

 d'abord tout de suite cpie, dans une surface susceptible d'être transformée 

 en elle-même par une substitution birationnelle renfermant un paramètre 

 arbitraire, le genre/? peut être quelconque. Considérons, en effet, une sur- 

 face S dont les coordonnées soient des fonctions rationnelles de quatre pa- 

 ramètres)., [j., à' et [;/ 



les deux paramètres 1 et ;x, ainsi que >.' et ij.', étant respectivement liés par 

 les relations algébriques 



/(l,lj.) = o, F(l',iJ.')=o, 



et supposons de plus qu'à un point arbitraire de la surface ne correspon- 

 dent qu'un seul système de valeurs (1, y.) et un seul système (V, jj.'); 

 admettons que la relation F soit de genre p supérieur à l'unité, et la rela- 

 tion / de genre un. Dans ces conditions, la surface S pourra être trans- 

 formée en elle-même par une susbtitution birationnelle renfermant un 

 paramètre arbitraire, et son genre, il est aisé de le voir, est égal au 

 genre/) de la relation F. 



» Nous pouvons aller plus loin et trouver toutes les surfaces algébriques, 

 susceptibles d'être transformées en elles-mêmes par une substitution bira- 

 tionnelle renfermant un paramètre arbitraire, dans le cas où le genre de 

 cette sur/ace est supérieur à un. La réponse est bien simple; l'exemple que 

 nous venons d'indiquer renferme tous les cas possibles. La démonstration 

 de ce théorème est fondée sur la remarque suivante : sous la condition 

 indiquée, l'intersection (variable avec 0) de la surface avec le faisceau 



Q,{x, y, z) -h (^ Q.,(x, y, z) = o 



se compose d'une ou plusieurs courbes qui sont du genre un, et dont le 

 module ne dépend pas du paramètre 9. 



Nous avons considéré jusqu'ici le cas d'une substitution birationnelle 

 renfermant un ou deux paramètres arbitraires. Examinons maintenant les 

 surfaces qui pourraient se transformer en elles mêmes au moyen d'une infi- 

 nité de substitutions birationnelles ne dépendant pas nécessairement de 

 paramètres arbitraires. Cette étude conduit au théorème suivant : 



» Le genre de la sur/ace étant supposé supérieur à un, les substitutions qui 



