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transforment la surface en elle-même sont en nombre limité, ou elles ren- 

 ferment un paramètre arbitraire, et, dans ce dernier cas, la surface appartient 

 alors à cette famille de surfaces dont il a été question plus haut. 



» J'indiquerai rapidement une démonstration de ce théorème. Considé- 

 rons la surface adjointe d'ordic m — 4 



A,Q,(^, J, z) + K._Cl.fx,y,.z)-\- ... + Xp(lp{x,y, z) = o 



aA^ec ses/j constantes arbitraires A. 



» Cherchons la condition pour que cette surface soit tangente à la sur- 

 face proposée/, en un point situé en dehors des lignes ou points singuliers 

 de cette surface; nous obtiendrons ainsi une certaine équation irréduc- 

 tible 



<Ï)(A,, A,, ..., A^) = o, 



<1> étant un polynôme homogène par rapport aux A. A toute substitution S 

 transformant y"en elle-même correspond une substitution //«eai/e 2; effec- 

 tuée sur les A, et transformant en elle-même l'équation <I) = o. Inverse- 

 ment, à toute substitution linéaire 2, relative aux A et jouissant de la pro- 

 priété précédente, coiTcspond une substitution S; cette substitution n'est 

 d'ailleurs pas nécessairement unique, et si ces substitutions S sont en 

 nombre infini, elles renferment un paramètre arbitraire. 



)) Ceci posé, supposons les substitutions S en nombre infini; soient 

 d'abord les 2 en nombre fini (nous considérons comme ne formant qu'une 

 seule substitution 2 toutes celles dans lesquelles les coefficients sont pro- 

 portionnels); les substitutions S, d'après ce qui précède, seront en nombre 

 fini ou renfermeront un paramètre arbitraire. Soient maintenant les sub- 

 stitutions 2 en nombre infini, elles dépendront nécessairement de para- 

 mètres arbitraires, puisqu'elles sont linéaires; les substitutions S renfer- 

 meront alors un paramètre arbitraire. Le théorème énoncé se trouve 

 ainsi établi. 



» La démonstration précédente suppose que p est au moins égal à 

 quatre. J'ai traité les cas dep = 2 et 3 par une autre méthode, qui peut 

 d'ailleurs s'appliquer au cas général, mais qu'il serait trop long de déve- 

 lopper ici. 



)) Dans son beau Mémoire sur un théorème de M. Fuchs {Acta math., 

 t. VII), M. Poincaré s'est occupé des transformations birationnelles des 

 courbes planes et a montré l'importance que la relation analogue à '1' = o 



