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» L'objet de la présente Note est de faire connaître une solution géné- 

 rale du problème suivant : 



» Quel est le nombre des conditions simples auxquelles équivaut, pour une 

 courbe algébrique, la condition de posséder, en un point donné, une singularité 

 donnée ? 



» La solution de ce problème se présente comme une conséquence im- 

 médiate d'une jjropriété générale des courbes algébriques, qui donne lieu 

 à d'intéressantes applications et dont voici l'énoncé : 



)) Lemme. — Soit une courbe algébrique F du genre p, telle que par ses 

 points singuliers on puisse mener une courbe auxiliaire $ du même ordre, 

 ayant en ces points les mêmes singularités et qui rencontre ultérieurement en 

 D points la courbe F. Si Von peut assujettir la courbe <P à posséder en outre, 

 en des points arbitrairement choisis, des singularités ordinaires dont les ordres 

 de multiplicité r^, n, ... satisfassent aux conditions 



Ir(r-i) = 'ip, lr = D-2p, 



alors la courbe F admet D — p -h i arbitraires ('). 



» En particulier, pour les courbes de genre p = o, on a la proposition 

 suivante : 



)) Etant donnée une courbe unicursale telle que par ses points singuliers on 

 puisse mener une autre courbe du même ordre ayant en ces points les mêmes 

 singularités , si les deux courbes se coupent ultérieurement en J) points (D> o), 

 la courbe donnée admet D + i arbitraires. 



» Désignons maintenant par [gJ une singularité algébrique quelconque, 

 bien définie, donnée en un point P du plan. Soient 



E l'abaissement du genre produit dans toute courbe algébrique par la sin- 

 gularité [t]; 



I le nombre des intersections, confondues en P, de deux courbes quel- 

 conques douées en P de la même singularité [a] ; 



C le nombre cherché des conditions simples auxquelles équivaut, pour 

 une courbe algébrique, la condition de posséder enP la singularité [s]. 



» Il est évident que les nombres E, \, C ne dépendent que de la singu- 



(') Le point singulier étant défini comme l'origine de plusieurs cycles, ou bien 

 d'un seul cycle d'ordre supérieur à l'unité, je dirai que deux courbes ont en un 

 point P la même siiiffutaritc [onqiie, aux environs du point P, l'une et l'autre courbe 

 donnent lieu aux mêmes cycles. {Voir, pour la théorie générale : Halphen, Étude sur 

 les points singuliers des courbes algébriques planes. Paris, Gaulhier-Villars; i883.) 



