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Clcbsch dans la théorie des courbes planes, d'après lequel une courbe de 

 'rcnre p vciil toujours être Iransforniée, par une substitution birationnelle, 

 en une courbe de degré p ri- i . 



» Je n'examinerai pas ici les différents problèmes que les énoncés 

 précédents conduisent à se poser. C'est d'une application, concernant une 

 classe d'équations différentielles du second ordre, que je vais maintenant 

 m'occuper. Envisageons l'équation différentielle 



y étant un polynôme, y' etj" désignant les dérivées première et seconde 

 de la fonction j de ii7 ; et considérons le cas où l'intégrale générale de cette 

 équation seiait une fonction uniforme de x, n'ayant d'autre point singulier 

 essentiel que le point à l'infini. 



» En regardant y, y' et y" comme des coordonnées, l'équation (i) 

 représente une surface; sujiposons d'abord le genre de cette surface supé- 

 rieur à l'unité, et soient Q((j. j', j") et Q2(j.7'> j") deux jtolynômes 

 adjoints. J'établis d'abord que l'on aura 



/.,x <.>■(.>-,. r',.r") __ Qi(.ro,r'o,r"o) 



^^^ Q2(,r,/,r")-Q,(r„,j';, :>-;)' 



en désignant par jo> Jo' Jo ^" système de valeurs initiales pour y, y', y". 

 En éliminant j'" entre les é(juations (i) et (2), on voit qu'il existe une rela- 

 tion algébrique entre y et y', et, par conséquent, on rentre dans le pro- 

 blème classique traité par MM. Briot et Bouquet. Nous pouvons donc 

 énoncer le théorème suivant : L'intégrale générale étant supposée uniforme, 

 le genre de l'équation ( i) est égal à o ou i, ou bien, l'équation se ramène à une 

 équation inlégrable par les fonctions elliptiques. 



» On peut bien aisément donner un exemple d'une équation de la 

 forme précédente. Soit ç(m, c) une fonction uniforme quadruplement pé- 

 riodique de u et ('. Si l'on pose 



j=o(..r+ C, C), 



C et C étant deux constantes arbitraires, on aura évidemment, entre j et 

 ses deux premières dérivées, une relation de la forme ( i). 



» Posons-nous le problème inverse, c'est-à-dire, étant donnée l'équa- 



