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cherchons à reconnaître si elle peut être intégrée, comme il vient d'être 

 dit, à l'aide des fonctions abéliennes. Le genre de la surface /devra tout 

 d'abord être i ou o, et je ne m'occuperai que du cas oii ce genre est égal 

 à l'unité. 



» Posons y = o(m, c), z—'-^,t— '-^,, nous avons 

 ^ ^ ^ Ou du- 



/(j,z,l) = o. 



» Soit Q(r, s, l) le polynôme adjoint à /. On démontrera d'abord que 



(a) .= /- -^ , 



et cette intégrale devra être une intégrale de différentielle totale de pre- 

 mière espèce, attachée à la surface /; il faudra de même que u s'exprime 

 par une intégrale de première esi)èce. Or on sait former les intégrales de 

 première espèce correspondant à une surface; outre celle qui a été déjà, 

 trouvée indirectement, il devra y en avoir une seconde, soit 



J'F(y,z,t)rfy^-R(y,z,t)dz, 



et cette intégrale sera égale à Au -\- Bv, A et B étant des constantes; d'où 

 l'on conclut, en différentiant, 



A = V(j,z,t)z-^ l\(y,z,l)(. 



» Il sera aisé de vérifier si l'on peut choisir la constante A, de manière 

 que cette dernière relation soit une conséquence de /(y, z, t) = o. Siqj- 

 posons qu'il en soit ainsi, et soient P et R, tellement choisis, que A = i. 

 Nous avons l'équation (y.) et l'équation 



(|3) u =fv(Y, z, t)dy + \\{y, z, t) dz. 



Les équations («)■ et (p) donnent j, z et t, exprimées par des fonctions uni- 

 formes quadruplement périodiques de u et c, car la surface /" est du genre 

 un et a deux intégrales de première espèce, ce qui est, comme je l'ai mon- 

 tré dans mou Mémoire Sur les intégrales de première espèce, la condition né- 



