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les P et Q étant des fonctions rationnelles. De plus, chacune des expres- 

 sions 



P dx + Q dy et P, dx + Q^dy 



est une différentielle totale exacte. On montrera enfin que les deux équa- 

 tions aux différentielles totales 



( P Ê?a7 + Q dy = du, 

 -^^ \v,dx-{-Q,dy^dv 



donnent pour x, y, z des fonctions uniformes de u et c. De là résulte le 

 théorème suivant : Pour toute surface susceptible d'une double infinité de 

 transformations birationnelles, les coordonnées d'un point quelconque s'ex- 

 priment par des fonctions uniformes de deux paramètres. Comme le montrent 

 les équations (i), ces fonctions sont des fonctions quadruplement pério- 

 diques ou des dégénérescences de telles fonctions. 



» J'ai, dans ma Communication du 1 1 octobre, considéré les équations 

 différentielles du second ordre de la forme 



(2) /(j./.y.) = o. 



y étant un polynôme. Le théorème précédent permet de démontrer une 

 propriété fondamentale de cette équation, quand son intégrale générale 

 est uniforme. Tout d'abord, dans cette hypothèse, la surface représentée 

 par l'équation (2) sera susceptible d'une transformation birationnelle ren- 

 fermant au moins un paramètre arbitraire. Si le paramètre est unique, 

 l'équation s'intégrera par les fonctions elliptiques, car on peut aisément 

 montrer qu'il y a alors une relation algébrique entre j et y. Dans le cas 

 contraire, on pourra exprimer y, y' et y" par des fonctions abéliennes de deux 

 paramètres (ou dégénérescences de telles fonctions"). 



)) Ce résultat important permet de faire l'étude complète de l'équa- 

 tion (2) quand son intégrale générale est uniforme ; c'est ce que je dévelop- 

 perai dans un travail étendu concernant ces équations. Je veux simplement 

 ici, en terminant, indiquer le résultat concernant le cas en quelque sorte 

 général, qui est en même temps le plus simple, c'est-à-dire celui où y, y' 

 et y" peuvent s'exprimer par des fonctions uniformes ayant effectivement 

 quatre couples de périodes. L'intégrale générale de l'équation différentielle 

 sera nécessairement dans ce cas 



y = o(ax -+- C, a'x + C), 



