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 a et a' étant deux constantes, C et C étant arbitraires, et 9 (a, v) représen- 

 tant une fonction quadruplement périodique de u et c. Nous avons fait 

 dans la Communication rappelée l'étude complète de ce cas. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les transformations des surfaces 

 en elles-mêmes. Note de M. H. Poixcaré, présentée par M. Hermite. 



« M. Picard a démontré que, si une surface admet une double infinité 

 de transformations birationnelles en elles-mêmes, les coordonnées d'un 

 point de la surface peuvent s'exprimer par des fonctions abéliennes de 

 deux paramètres. Dans certains cas, toutefois, ces fonctions abéliennes 

 peuvent dégénérer en fonctions triplement périodiques, en fonctions ellip- 

 tiques ou même en fonctions rationnelles. 



» J'ai retrouvé le même résultat par une autre voie, et ma démonstra- 

 tion, quoique moins simple et moins directe que celle de M. Picard, me 

 semble néanmoins digne de quelque intérêt, parce qu'elle nous fournit un 

 exemple d'un type de raisonnement qui peut être utile dans d'autres cir- 

 constances. 



» 1 . Les transformations de la surface S en elle-même forment un groupe 

 continu, et ce sont les propriétés les plus connues de ces groupes qui 

 seront mon point de départ. Considérons une des substitutions infinitési- 

 males de ce groupe et les diverses puissances de cette substitution. Ces 

 puissances formeront un sous-groupe dépendant d'un seul paramètre arbi- 

 traire t, de sorte que l'une quelconque d'entre elles pourra s'écrire 



(i) x'=v^,{x,y,z,t), y'=<<^.,{x,y,z,t), z' = v^,{x, y, z, t), 



(p,, çj et «Pj étant rationnels par rapport à x, y, z, mais non par rapport à /. 

 Soient S, et S^ les deux substitutions obtenues en faisant successivement 

 ^ = /, et t =^ t.,, ces deux substitutions seront permutables. Mais il y a plus, 

 on peut choisir le paramètre t de telle façon que la résultante de S, et 

 de Sj s'obtienne en faisant t ^^ t, -h t.^. 



» Soient maintenant {xg, y^, -„) un point quelconcjue de la surface S; 

 et C la courbe lieu des divers transformés de ce point par les substitu- 

 tions (i). Ces substitutions transformeront la courbe C en elle-même. 



» Soient (a;, , j,, s,), (a;^, j^. ^2). (-^a. Ja. -3) les transformésde (x„,y„, z^) 

 par S,, par So et par SfS^Çt = f, -^ I.2). Nous pourrons nous servir, 



