( 733; 



pour définir la substitution S,, non plus du paramètre /,, mais des trois 

 paramètres a:,, j,, :;, supposés liés par les écpiations C. Alors (a;.,, y,, s,) 

 est le transformé de (a^^, y^, So) par S,; c'est aussi le transformé de 

 {x^,y^, z^) par So. Il en résuite que oc.j,y.^, z-^ sont des fonctions ration- 

 nelles à la fois par rapport à x^,y^, z^, et par rapport à x^,yn, z.,, et d'ail- 

 leurs symétriques par rapport à ces deux systèmes de quantités. J'écrirai 



( •3"3= ViC-^M }'i.-i. a7o,j,, 5,); 



(2) j 73 = ^2(^^.-7.. -,.^-2.72. -o): 



' ^3 = fi(*"..,r,, s,, a-o, j2. -2), 



i]/,, Ao et^}/,, étant rationnels. 



» D'après ce qui précède, si les deux points (a?,, 7,, s,), (^0,72, So) 

 sont sur la courbe C, il en sera de même du point (<{/,, 'j/j, i];,). 



» 2. Je dis maintenant que, si les deux points (x^, y,, z,), {x^ty^, z.,) 

 sont sur la surface S sans être sur C, il en sera de même du point 



Supposons d'abord, en effet, que le point (x,,y,, g,) restant fixe et de- 

 meurant sur C, on fasse varier le point (a^o, 70, Z2). En exprimant que le 

 point (A,, '\i.,, (l'a) se trouve sur S, on trouve une relation entre Xn, y^, z^, 

 qui est l'équation d'une surface algébrique. Si cette surface se confond 

 avec S, le théorème est démontré; si elle diffère de S, c'est que la courbe C 

 est algébrique, et l'on retombe sur le cas traité par M, Picard dans sa 

 deuxième Note. On raisonnerait de la même façon dans le cas oîi l'on ferait 

 varier simultanément les deux points. 



)) Si donc nous regardons x,,y,, z, comme des paramètres liés par l'é- 

 quation de la surface S, ^^2,72. ^2 comme un point donné, Xjf,y3, z.j comme 

 le point transformé, les équations (2) re])résenteront un groupe de trans- 

 formations de S en elles-mêmes, dépendant de deux paramètres. Deux sub- 

 stitutions quelconques de ce groupe sont permutables. Il en résulte que 

 nous pouvons définir une substitution de ce groupe non plus par trois para- 

 mètres (a?, ,7,, S|), mais par deux paramètres indépendants (/,, u,), et 

 choisir ces deux paramètres, de telle sorte que la résultante des substitu- 

 tions (t,, u,) et (t.^, u.,) soit (s, -h t.,, u, -+- u.,). 



» Si donc nous considérons x,,y,, 2, comme des fonctions de /, et ;/,, 



c. R., 1886, 2' Semestre. {T. GUI, N" 17.) 97 



