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 nous aurons 



x,=/,(t,,u,), Y,=Mt,,n,), z,=f,(t,,u,), 



x.,=/,{t.„u.,), r,=/,(Zo, w,), z._=/^(t„, lu), 



-3=/3(^ + '2, «<, -+-"2). 



» 3. Je dirai que trois fonctions ce, y, z de deux variables t et u ont un 

 théorème d'addition, si leurs valeurs pour l =t, -h t.,, u = u^-^ u., sont des 

 fonctions rationnelles des valeurs qu'elles prennent pour t= t^,u = m, et 

 pour / = t,,, u = «2. Je dis maintenant que, si des fonctions admettent un 

 théorème d'addition, elles sont uniformes dans tout le plan. En effet, leurs 

 valeurs pour Z = 2/,, ?/ = 2m, sont des fonctions rationnelles de leurs va- 

 leurs pour t = tt,u = u,. Si donc ces fonctions sont uniformes quand les 

 modules de f et de m sont plus petits que p, elles le seront encore quand 

 ces modules sont plus petits que 2p, et par conséquent dans tout le plan. 



» Ce principe, une fois démontré, peut être souvent très utile. Il peut 

 servir, par exemple, à démontrer rigoureusement le théorème fondamental 

 du Chapitre Monodromie de la Théorie des fonctions abéliennes de Clcbsch. 

 Dans le cas qui nous occupe, il montre que les trois fonctions/,, / et/,, 

 qui ont un théorème d'addition, sont uniformes. J_,es coordonnées d'un 

 point de S peuvent donc s'exprimer par des fonctions uniformes de deux 

 paramètres, d'où il est aisé de déduire le théorème de M. Picard. 



» 4. M. Fuchs a cherché les conditions pour que l'intégrale généi'ale 

 d'une équation différentielle n'ait qu'un nombre fini de points singuliers. 

 J'ai fait voir que, pour une équation du premier ordre, ces conditions ne 

 peuvent être remplies que si l'équation peut être ramenée aux équations 

 linéaires, ou bien est intégrable, soit algébriquement, soit par quadra- 

 tures. Ce qui précède montre qu'il en est encore de même pour les équa- 

 tions d'ordre supérieur. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Extension du théorème de Riemann-Roch aiuc 

 surfaces algébriques. Note de M. M. Noether, présentée par M. Her- 

 mite. 



« Je vais d'abord expliquer quelques dénominations dont je forai usage 

 dans les énoncés suivants : 



