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considère la condition 



(Î)(A,, Ao, ..., A^) = o 



pour que la surface lA/p, = o soit tangente à la surface/= o ; et il intro- 

 duit, outre/?, le degré D du polynôme <!' comme nombre invariantif, ou, ce 

 qui est la même chose, le degré de la surface (avec les coordonnées A,, 



Ao.Aa, A^) 



W(A A,) = o, 



qui résulte de <î> = o, en y faisant A5 = Ae =■ ... = A^ = o. J'ajouterai que 

 non seulement D, mais tous les nombres appartenant à W = o, ont le ca- 

 ractère invariantif. Pour la recherche de ces nombres, comme de D ou des 

 points multiples de ^ = 0, il faut résoudre des problèmes d'élimination 

 extrêmement compliqués, ce qu'on peut prévoir par le cas le plus simple, 

 la recherche de la surface réciproque d'une surface donnée. Entre le 

 nombre D et les nombres /j et p''', définis auparavant, il y a la relation 

 (voir mon Mémoire cité, § 11-12) 



D + ia, = 4(3/?+/y"+2), 



oij 2;y., se rapporte à tous les points multiples isolés dey, de l'ordre respectif 



(7.,, IJ..., ..., ([7-,> l). 



» Le théorème de Riemann-Roch est, on le sait, une proposition sur le 

 nombre des constantes arbitraires d'une fonction algébrique, rationnelle 

 en X, y, qui devient infinie dans un groupe donné G^ de Q points d'une 

 courbe proposée /(x, y) = o, d'ordre m et de genre p; ce nombre est 

 Q — p -I- p -I- I quand il y a p courbes ç (d'ordre m — 3, adjointes à^), 

 linéairement indépendantes, qui passent par le groupe G^; en d'autres 

 termes, Gq appartient à un système linéaire de groupes qui contient 



q = Q-p + ? 



paramètres variables. 



» On a cette extension pour une surface proposée /=o, de genres/? 

 et /)<". 



» Soit G une courbe située sur y= o et du genre 77. La courbe fera 

 partie d'un système linéaire 1 de courbes situées sur/, du même ordre 

 que C; soit q le nombre des paramètres variables de ce système, c'est- 

 à-dire soit g' + I le nombre des constantes arbitraires d'une fonction ra- 

 tionnelle dex,y, z-, qui devient infinie en C. Soit, de plus, s le nombre 

 des points d'intersection mobiles G^ de C avec une courbe quelconque de 



