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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe étendue de transcendantes 

 uniformes. Note de M. H. Poixcaré, présentée par M. Jordan. 



(c Soient 



x,=o,{u), x.,=^o.{u), ..., Xn = o„(u) 



n fonctions uniformes d'une variable u. Soit m un nombre quelconque, 

 mais de module plus grand que i. Soit ensuite 



» Nous disons que ces fonctions o admettent un théorème de multipli- 

 cation, si l'on a 



\ 'r^ ' 



les fonctions F étant rationnelles. 



)) Donnons-nous arbitrairement les fonctions F et proposons-nous de 

 rechercher s'il existe des fonctions uniformes o qui satisfassent aux rela- 

 tions (i). Pour cela les fonctions F devront satisfaire à certaines conditions 

 qui s'aperçoivent immédiatement. Imaginons que les fonctions <p doivent 

 toutes s'annuler avec u. Alors les fonctions F s'annuleront avec les x. 

 Si donc on développe les F suivant les puissances croissantes des x, le dé- 

 veloppement commencera par des termes du premier degré. On peut tou- 

 jours supposer que les termes du premier degré de F, se réduisent à T^, a:,; 

 car, si cela n'était pas, on n'aurait qu'à faire subir aux x un changement 

 linéaire de variables. Nous écrirons donc 



(2) x\ =ltX,-i- Q^, x'.,—l„X2-i-Q.,, ..., a?;, = 'X„a;„-f-0„, 



les étant des fonctions rationnelles des x dont le développement com- 

 mence par des termes du second degré. 



)) Il faut alors qu'un au moins des 1, >., par exemple, soit égal à m. 



» 1° Supposons d'abord que tous les 1 soient égaux à m, 



X, = A, — .. .=^A„ = m, 



