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 Le premier d'entre eux, a,, reste seul arbitraire, les « — i autres doivent 



être nuis. 



» Pour en démontrer la convergence, il faut comparer, comme plus 

 haut, les équations (2) à des équations (2 bis) convenablement choisies. 

 Nous prendrons 



(2 bis) œ] = hxi+ &', 



Q'= ' ,„ , S =cv, + x.,-{-.. .-{- x„. 

 I — us 



» On pourra prendre le nombre positif è assez grand pour qu'un terme 

 quelconque de 6' soit positif et plus grand que le terme correspondant 

 de 0,, et le nombre positif h assez petit, quoique plus grand c|ue i, pour 



que 



h'' - A < ; Xf — ;n j. 



1) On démontrera ensuite, comme plus haut, que les séries (3) sont 

 convergentes et défmissent des fonctions uniformes dans tout le plan. 



» Nous sommes donc conduits à une classe très étendue de transcen- 

 dantes uniformes qui admettent un théorème de multiplication où les fonc- 

 tions rationnelles F restent arbitraires dans une très large mesure. On re- 

 connaîtrait sans peine qu'une pareille fonction uniforme peut toujours être 

 regardée comme le quotient de deux fonctions entières jouissant de pro- 

 priétés analogues. 



» Ces transcendantes contiennent comme cas particuliers les fonctions 

 elliptiques, les fonctions et les transcendantes obtenues en égalant à 

 zéro toutes les variables, moins une, dans une fonction abélienne. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la série de Maclaurin dans le cas d'une va- 

 riable réelle. Application au développement en série du potentiel d'un corps 

 homogène. Note de M. O. Calla\dreau, présentée par M. Tisserand. 



« Supposons d'abord que les coefficients de la série 



(0 y(o) + ocf{o) + -^/"(o) +-+t£:j, /"(o) + ••• 



soient tous positifs ; qu'ils ne croissent pas à partir d'un certain rang ; qu'on 

 ait établi la légitimité de la représentation de la fonction f(x) par la série 

 ci-dessus, pour les valeurs positives de x inférieures ou égales à un nombre 



