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donné a plus petit que l'iinitc. Je vais montrer (^\ on peut prolonger la re- 

 présentation de la fonction par la série, tant qu'on ne sera pas arrêté par une 

 discontinuité des dérivées /"(-i") ou par la limite de convergence de la série (i). 

 » D'abord, dans la formule du reste, 



0, pour des valeurs indéfiniment croissantes de n, est nécessairement plus 

 petit que toute quantité donnée, aussi petite qu'on voudra la prendre. 

 )) On sait que l'on a 



(3) (i - fi)"-' /"(^cc) = f (i- ty->/"{tx)dt, 



• 



où est compris entre zéro et l'unité. D'après les articles 121 et 127 de 

 l'Introduction à la théorie des /onctions d'une variable, de M. J. Tannery, on 

 est en droit de remplacer, poiu' la valeur a âc x et les valeurs inférieures, 

 les symboles /"(9a;) eX/"(tx) par les séries déduites de (i). Divise-t-on 

 les deux membres de (3) par le terme indépendant de x dans f"(f)x) et 

 f"(tx), a-t-on égard au décroissement des coefficients de (i), on voit que 

 l'inégalité 



-!3 



( 



^^ — ■ \„_^. > — h termes positifs 



doit avoir lieu, et de là résulte, comme l'on a dit, que est nécessairement 

 plus petit que toute quantité donnée quand n croît indéfiniment. Pour 



x = o, l'équation qui détermine 6 est (i — 0)"" 



I 

 n 



» On étudie ensuite comment varie la dérivée -r- de la fonction de x, 



définie par l'équation (3). f"(x) étant supposée continue dans un inter- 

 valle qui comprend au moins l'intervalle (o, a), on a le droit de différentier 

 sous le signe d'intégration 



[- (n -i)y"(ex) + (i_ e)/-\o.r)^](i-o)"-=^ 



-- f (i— t)"-'tj"^'(tx)dt. 



)) Je dis qu'on peut prendre le nombre n assez grand pour que la paren- 

 thèse soit toujours négative, au moins si o^x^a. En effet, changeant les 

 signes des termes, remplaçant les symboles /" par les séries correspon- 



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