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 dantes et ordonnant par rapport à Oa?, il vient 



(n - i) /"(ô) - /«- (o)^ + [«/'-' (o) - /"-^-(o)co] ^' 



+ [(« + i),r^=(o) -y-^o)^]^' +••- 



et, d'après l'hypothèse faite sur le décroissement des coefficients, mais sur- 

 tout parce que œ est supposé inférieur à l'unité, tous les termes sont po- 

 sitifs. 



» De là résulte, n étant un nombre assez grand : i° que j- "^ P^'i* 



devenir infinie pour aucune valeur de ce dans l'intervalle (o, à), les limites 

 comprises, et demeure négative ; 2° que pour les mêmes a aleurs de ce, 9 dé- 

 croît quand ce augmente. Pour x = o, on trouverait 



cl» I 



dx n — I 



» Voici la conséquence : de ce que demeure inférieur à une fraction 

 aussi petite qu'on veut, pour n assez grand, il s'ensuit que ce, passant de la 

 valeur a à une valeur voisine plus grande a -+- Aa, le produit %x sera né- 

 cessairement toujours inférieur à a, et que la dérivée d'ordre quelconque 

 /"(ôa?) pourraêtre remplacée par la série correspondante, puisque la légitimité 

 du développement en série est admise quand x^a; mais alors le reste est 



inférieur à 



(i — e)''-'a;"' /"(o) _ x"-f"{d) (1 — 6)"-' 



i.2.3...(/i— i) (1 — 0^')"+' I.2.3...W (i — 6a.-)''+i 



ce qui tend vers zéro du moment que x est inférieur à l'unité. 



» Quand les coefficients de la série (i) ont des signes quelconques, leur 

 valeur absolue tendant vers zéro quand n augmente indéfiniment, il suffit 

 de considérer la combinaison 



pour être ramené au premier cas; on peut répéter les mêmes raisonne- 

 ments. 



» Les remarques précédentes s'appliquent tout de suite au développe- 

 ment du potentiel d'un corps homogène en série ordonnée suivant les 

 puissances décroissantes ou croissantes de la distance qui sépare le point 

 attiré du centre des coordonnées. En effet, i" les formules de développe- 

 ment sont évidemment légitimes pour les points d'un même rayon, soit 



