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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le théorème d'Abel. 

 Note de M. G. Hcmbeut, présentée par M. Jordan. 



« Soit une intégrale abélienne quelconque 



où Q et R sont des polynômes de degrés respectifs g et /•, et où l'on suppose 

 œ et y liés par la relation, de degré n, 



(2) f(.T,y) = o. 



» Coupons la courbe y :=o par un faisceau de courbes, de degré m, 

 F — U'f = o, u désignant un paramètre variable; soient x", xl, . . ., cc",,^ ; 

 X,, ..., x„,„ les abscisses qui correspondent respectivement aux points d'in- 

 tersection de /= o avec les courbes F — u^o = 0, F — wa = o. Propo- 

 sons-nous d'évaluer directement l'expression 



[ = mit 



2 rw^.dx. 



» Nous nous appuierons, pour cela, sur la théorie des fonctions fucli- 

 siennes, due à M. Poincaré, et sur les résultats que nous en avons dé- 

 duits. 



» Les coordonnées des points d'une courbe algébrique plane, de genre p, 

 ayant pour équation, en coordonnées homogènes, /(a?,, ^j, jJj) = o, 

 peuvent toujours se mettre sous la forme 



(3) Xi=Qi(t) (/=i,2, 3), 



0)» 02» ©3 étant des fonctions thêtafuchsicnnos holomorphes d'un para- 

 mètre t, et de degré [j.. De plus, le polygone fuchsien correspondant R„ 

 appartient à la première famille et à 4/> côtés, tels que les côtés opposés 

 soient deux à deux conjugués; la somme de ses angles est égale à 27;. 



» La courbe représentée par les équations (3) est de genre p, et son 

 degré n est égal à 2[;.(/> — i) — ^, k étant le nombre des zéros communs 

 aux trois fonctions 0,, B.,, O3 dans l'intérieur de R^- 



» Cela posé, faisons, dans l'intégrale 1, x =^ '—^) y=^ —> et substituons 



